Seja
onde
,
e
são constantes não nulas. Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
e afirma que
,
e
são constantes não nulas. As informações e o que se pede são:
- Dado
. - O enunciado pede para mostrar que
.
Observação importante sobre a notação: a expressão
está ambígua se entendida literalmente, porque
foi declarado constante. Para que a identidade solicitada seja verdadeira é necessário que a dependência temporal na componente
seja uma função trigonométrica com o mesmo argumento
(por exemplo
ou
). Vou assumir, para proceder com a demonstração, que a intenção do enunciado é
isto é, a segunda componente é
. (Se a componente
fosse
a demonstração é análoga e o resultado final é o mesmo.)
Passo 2
Vou lembrar as regras de diferenciação que vou usar (com explicação didática e exemplos simples):
- Regra da derivada de uma soma e da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes podem sair da derivada. Por exemplo,
se é constante. - Regra da cadeia (essencial aqui): se
é uma função de e é uma função de , então
Aplicação concreta: a derivada de
em relação a
é
Explicando passo a passo: a derivada de
em relação a
é
; como
, multiplica-se pela derivada de
, que é
(constante).
Passo 3
Calcular a primeira derivada
componente a componente, usando linearidade e a regra da cadeia explicada:
Derivando:
Usando
(Passo 2):
Agrupando o fator comum
:
Passo 4
Agora calculo a segunda derivada
diferenciando
. Vou diferenciar componente a componente novamente e usar a regra da cadeia para a função
:
Derivando cada termo: a derivada de
é
. Então
Substituindo
:
Simplificando os fatores
:
Passo 5
Fatorando
da expressão do Passo 4:
Reconhecendo a expressão entre parênteses como exatamente
, obtemos