Determine a equação da reta tangente à curva C parametrizada pela função vetorial abaixo, no ponto dado.
\vec{\beta}(t)=\left(t^{2}, t\right) e t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada pela função vetorial \vec{\beta}(t)=\left(t^{2},t\right) e pede a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a t=1.
Informações relevantes:
  • A função vetorial é \vec{\beta}(t)=\left(t^{2},t\right).
  • O parâmetro onde queremos a reta tangente é t=1.
  • O que se pede: equação da reta tangente (pode ser em forma explícita y=\dots ou forma paramétrica/ vetorial).

Passo 2

O que é reta tangente a uma curva parametrizada e como encontrá-la (explicação didática):
  • Para uma curva parametrizada por \vec{\beta}(t)=\big(x(t),y(t)\big), a derivada \vec{\beta}'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big) é o vetor velocidade. Ele aponta a direção da curva naquele parâmetro e, em particular, dá a direção da reta tangente.
  • Se x'(t_0)\neq 0, a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em t_0 é
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=t_0}=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}.
  • A reta tangente que passa pelo ponto (x(t_0),y(t_0)) e tem inclinação m pode ser escrita na forma ponto-inclinação:
y-y(t_0)=m\big(x-x(t_0)\big).
  • Alternativamente, a reta tangente pode ser dada em forma vetorial/paramétrica:
\vec{r}(s)=\vec{\beta}(t_0)+s\,\vec{\beta}'(t_0),\quad s\in\mathbb{R},
onde s é o parâmetro da reta.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: identificar x(t) e y(t).
  • Aqui x(t)=t^{2} e y(t)=t. Estou apenas separando as componentes para ficar claro.

Passo 4

Calcular a derivada (vetor velocidade) da curva:
\vec{\beta}'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big) = \big(2t,\,1\big).
Explicação: derivada de t^{2} é 2t; derivada de t é 1.

Passo 5

Avaliar ponto e vetor derivada em t=1:
\vec{\beta}(1)=\big(1^{2},\,1\big)=(1,1), \qquad \vec{\beta}'(1)=\big(2\cdot1,\,1\big)=(2,1).
Interpretação: o ponto da curva onde queremos a tangente é (1,1) e a direção da tangente é dada pelo vetor (2,1).

Passo 6

Encontrar a inclinação da reta tangente:
  • Como x'(1)=2\neq0, podemos usar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(1)}{x'(1)}.
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=1}=\frac{1}{2}.
Portanto a inclinação é m=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Escrever a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação e simplificar:
  • Forma ponto-inclinação:
y-1=\frac{1}{2}\big(x-1\big).
  • Simplificando para a forma explícita y=mx+b:
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.
Também pode ser dada a forma vetorial/paramétrica (opcional):
\vec{r}(s)=(1,1)+s(2,1),\quad s\in\mathbb{R}.

Resposta

y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}

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