Suponha que X tenha distribuição \exp (1) e que Y dado X tenha distribuição N(X, X). A partir da esperança e variância condicionais, calcule a esperança e a variância de Y.

Passo 1

O enunciado diz que X\sim\exp(1) (taxa igual a 1) e, condicionando em X=x, temos
Y\mid X=x \sim N\bigl(x,\,x\bigr).
Queremos calcular \E[Y] e \Var(Y) usando as fórmulas de esperança e variância totais.

Passo 2

Para a esperança, empregamos a regra da esperança total:
\E[Y] = \E\bigl[\E[Y\mid X]\bigr].
Como \E[Y\mid X=x]=x, segue
\E[Y] = \E[X].
E para X\sim\exp(1) sabemos que
\E[X]=1.

Passo 3

Para a variância, usamos a decomposição
\Var(Y) = \E\bigl[\Var(Y\mid X)\bigr] \;+\; \Var\bigl(\E[Y\mid X]\bigr).
Aqui \Var(Y\mid X=x)=x e \E[Y\mid X=x]=x. Então
\E\bigl[\Var(Y\mid X)\bigr] = \E[X] = 1,
\Var\bigl(\E[Y\mid X]\bigr) = \Var(X) = 1
(para \exp(1) temos \Var(X)=1). Logo
\Var(Y)=1+1=2.

Resposta

\E[Y]=1 \Var(Y)=2

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