Suponha que a vida útil de certo tipo de equipamento tem distribuição exponencial, com média igual a 9.500 horas. Uma indústria adquiriu 80 unidades deste equipamento e pô-los em funcionamento. Qual é a probabilidade de a média das vidas úteis destas 80 unidades ser superior a 10.900 horas?
Lembrete: O desvio-padrão de uma VA com distribuição exponencial é igual ao seu valor esperado
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
A vida útil de cada equipamento segue distribuição exponencial com média \mu = 9\,500 horas.
Para a distribuição exponencial, foi lembrado que o desvio-padrão é igual à média, ou seja \sigma = 9\,500 horas.
A indústria colocou em funcionamento n=80 unidades e queremos a probabilidade de a média amostral dessas 80 unidades ser superior a 10\,900 horas, ou seja pedir P\big(\overline{X}>10\,900\big).
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): quando tiramos uma amostra grande de variáveis independentes idênticamente distribuídas (aqui as vidas úteis das 80 unidades), a média amostral \overline{X} tem aproximadamente distribuição normal, mesmo que a distribuição original seja exponencial — isso é o Teorema Central do Limite (TCL).
Fórmulas importantes que vamos usar:
A média da distribuição amostral da média é \mathbb{E}(\overline{X})=\mu.
O desvio-padrão da média amostral (erro padrão) é \sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui \mu é a média da população (aqui 9\,500), \sigma é o desvio-padrão da população (aqui também 9\,500), e n é o tamanho da amostra (aqui 80).
Interpretação e observação final: a probabilidade calculada é uma aproximação pelo Teorema Central do Limite. Como n=80 é relativamente grande, a aproximação pela normal é muito razoável, mesmo partindo de uma exponencial assimétrica. Portanto o valor encontrado é confiável para uso na prova.