Suponha que a vida útil de certo tipo de equipamento tem distribuição exponencial, com média igual a 9.500 horas. Uma indústria adquiriu 80 unidades deste equipamento e pô-los em funcionamento. Qual é a probabilidade de a média das vidas úteis destas 80 unidades ser superior a 10.900 horas?
Lembrete: O desvio-padrão de uma VA com distribuição exponencial é igual ao seu valor esperado

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A vida útil de cada equipamento segue distribuição exponencial com média \mu = 9\,500 horas.
  • Para a distribuição exponencial, foi lembrado que o desvio-padrão é igual à média, ou seja \sigma = 9\,500 horas.
  • A indústria colocou em funcionamento n=80 unidades e queremos a probabilidade de a média amostral dessas 80 unidades ser superior a 10\,900 horas, ou seja pedir P\big(\overline{X}>10\,900\big).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): quando tiramos uma amostra grande de variáveis independentes idênticamente distribuídas (aqui as vidas úteis das 80 unidades), a média amostral \overline{X} tem aproximadamente distribuição normal, mesmo que a distribuição original seja exponencial — isso é o Teorema Central do Limite (TCL).
Fórmulas importantes que vamos usar:
  • A média da distribuição amostral da média é \mathbb{E}(\overline{X})=\mu.
  • O desvio-padrão da média amostral (erro padrão) é \sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
    Aqui \mu é a média da população (aqui 9\,500), \sigma é o desvio-padrão da população (aqui também 9\,500), e n é o tamanho da amostra (aqui 80).

Passo 3

Calcular o erro padrão \sigma_{\overline{X}}:
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{9\,500}{\sqrt{80}}.
Para facilitar o cálculo, use que \sqrt{80}=4\sqrt{5}. Assim
\sigma_{\overline{X}}=\frac{9\,500}{4\sqrt{5}}=\frac{2\,375}{\sqrt{5}}.
Agora aproximando \sqrt{5}\approx 2,2360679775, obtemos
\sigma_{\overline{X}}\approx\frac{2\,375}{2,2360679775}\approx 1\,062{,}13\\ \text{horas}.
(Logo o desvio-padrão da média amostral é cerca de 1\,062{,}13 horas.)

Passo 4

Padronizar o evento \overline{X}>10\,900 transformando em uma variável normal padrão Z:
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}.
Calculando o valor observado de Z:
z=\frac{10\,900-9\,500}{1\,062{,}13}=\frac{1\,400}{1\,062{,}13}\approx 1{,}3186.

Passo 5

Converter para probabilidade usando a normal padrão:
P\big(\overline{X}>10\,900\big)=P\big(Z>z\big)=1-\Phi(z),
onde \Phi(z) é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Usando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), para z\approx 1{,}3186 tem-se aproximadamente
\Phi(1{,}3186)\approx 0{,}9064.
Assim
P\big(\overline{X}>10\,900\big)\approx 1-0{,}9064=0{,}0936.

Passo 6

Interpretação e observação final: a probabilidade calculada é uma aproximação pelo Teorema Central do Limite. Como n=80 é relativamente grande, a aproximação pela normal é muito razoável, mesmo partindo de uma exponencial assimétrica. Portanto o valor encontrado é confiável para uso na prova.

Resposta

0,0936 (aproximadamente)

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