Uma agência bancária adotava o sistema de filas separadas para cada caixa. Com base em estudos anteriores, sabia-se que o tempo de espera dos clientes seguia uma distribuição normal com um desvio-padrão igual a 6,2 minutos. Com o objetivo de reduzir a incerteza dos clientes quanto ao tempo de espera até começarem a ser atendidos, a gerência da agência adotou o sistema de fila única e então mediu os tempos de espera de 25 clientes escolhidos ao acaso, com o objetivo de avaliar o funcionamento do novo sistema.
a) Suponha que o desvio-padrão dos tempos da amostra dos 25 clientes foi igual a 4,3 minutos. Podemos afirmar, ao nível de significância de 5 \%, que o novo sistema resultou numa variação menor dos tempos de espera?
b) A gerência da agência deseja ter uma probabilidade menor do que 10 \% de concluir que a variação dos tempos não diminuiu se, de fato, o desvio-padrão dos tempos no novo sistema tiver passado a ser igual a 4 minutos. Este desejo está sendo atingido com o procedimento adotado? Por
c) Formule este problema como um teste de hipótese sobre a variância populacional e esboce o quê? gráfico da função característica de operação correspondente, indicando claramente o valor da
d) Exemplificando com os elementos desta questão, explique sucintamente o que são (i) hipótese função no ponto \sigma=6,2. nula e hipótese alternativa; (ii) erro do tipo I e erro do tipo II; (iii) estatistica de teste; (iv) região crítica, e (v) nivel de significância.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Desvio-padrão histórico (antes): \sigma_0 = 6{,}2 minutos.
    • Amostra aleatória com n = 25 clientes do novo sistema.
    • Desvio-padrão amostral observado: s = 4{,}3 minutos (no item (a)).
    • Nível de significância pedido no item (a): \alpha = 5\% = 0{,}05.
  • Perguntas:
    a) Com s=4{,}3 e \alpha=5\%, podemos afirmar que a variância dos tempos diminuiu? (teste estatístico)
    b) Se o desvio-padrão verdadeiro no novo sistema for \sigma=4 minutos, a gerência quer que a probabilidade de “concluir que a variação não diminuiu” seja menor que 10\%. Ou seja, quer \beta(\sigma=4)<0{,}10. Com o procedimento adotado isso ocorre?
    c) Formular o teste de hipótese sobre a variância populacional e esboçar (descrever) o gráfico da função característica de operação (função de potência), indicando claramente seu valor no ponto \sigma=6{,}2.
    d) Explicar, exemplificando neste caso, o que são: (i) hipótese nula e hipótese alternativa; (ii) erro tipo I e tipo II; (iii) estatística de teste; (iv) região crítica; (v) nível de significância.

Passo 2

Qual teste usar e por quê — teoria passo a passo (aula rápida e prática).
  • Quando queremos testar hipótese sobre a variância (ou sobre o desvio-padrão) de uma população normal, a estatística natural é baseada na distribuição qui-quadrado.
  • Se X_1,\dots,X_n são amostras de uma população normal com variância \sigma^2, então \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{\,n-1},onde S^2 é a variância amostral (quadrado do desvio-padrão amostral) e \chi^2_{\,n-1} é a distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.
  • Para testar se a variância diminuiu em relação ao valor histórico \sigma_0^2, formulamos: H_0:\\ \sigma^2 = \sigma_0^2\qquad\text{versus}\qquad H_a:\\ \sigma^2 < \sigma_0^2.É um teste unilateral à esquerda (rejeitamos H_0 quando a estatística for pequena).
  • A estatística de teste é T=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}.Sob H_0, T\sim\chi^2_{\,n-1}. Para nível \alpha rejeitamos H_0 se T < \chi^2_{\alpha,\;n-1},onde \chi^2_{\alpha,\;n-1} é o quantil de ordem \alpha da qui-quadrado (quantil inferior, já que é teste à esquerda).
Vou aplicar exatamente isso aos dados.

Passo 3

Cálculo detalhado para o item (a): montar e calcular a estatística e comparar com o critério de rejeição.
  • Primeiro calcular S^2: S^2 = s^2 = (4{,}3)^2 = 18{,}49.
  • Valores numéricos: n-1 = 25-1 = 24,\qquad \sigma_0^2 = (6{,}2)^2 = 38{,}44.
  • Estatística: T=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{24\cdot 18{,}49}{38{,}44}.Calcule passo a passo: 24\cdot 18{,}49 = 443{,}76,
T = \frac{443{,}76}{38{,}44} \approx 11{,}547.
  • Critério de rejeição para \alpha=0{,}05 com df=24: precisamos do quantil inferior \chi^2_{0{,}05,\;24}. Da tabela de \chi^2: \chi^2_{0{,}05,\;24} \approx 13{,}848.(isto é, P(\chi^2_{24}<13{,}848)=0{,}05.)
  • Compare: T \approx 11{,}547 < 13{,}848.Portanto rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Conclusão: com os dados observados, há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a variação dos tempos diminuiu.
Observação sobre p‑valor (ajuda para interpretação): o p‑valor é P(\chi^2_{24}\le 11{,}547). Pelo aproximação normal da \chi^2 (média 24, desvio padrão \sqrt{48}\approx6{,}928), obtemos p‑valor aproximado \approx 0{,}035. Isso confirma que é menor que 0{,}05.

Passo 4

Item (b): calcular o erro tipo II (probabilidade de não rejeitar H_0 quando \sigma=4) e verificar se é menor que 10\%.
  • Definição prática: com nossa regra de teste (rejeitar quando T<13{,}848), o erro tipo II para um valor real \sigma=\sigma_1 é \beta(\sigma_1)=P(\text{não rejeitar }H_0\mid \sigma=\sigma_1) =P\bigg(T \ge 13{,}848 \\ \big|\\ \sigma=\sigma_1\bigg).ã
  • Sob \sigma=\sigma_1 temos a relação \frac{(n-1)S^2}{\sigma_1^2}\sim \chi^2_{24}.Logo T=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_0^2}\cdot Y, onde Y\sim\chi^2_{24}. Rejeitar H_0 é T<13{,}848, isto é Y<13{,}848\cdot \dfrac{\sigma_0^2}{\sigma_1^2}.
  • Para \sigma_1=4: \frac{\sigma_0^2}{\sigma_1^2}=\frac{38{,}44}{16}=2{,}4025.Portanto o limiar em Y é y^*=13{,}848\cdot 2{,}4025 \approx 33{,}270.
  • Assim \beta(4)=P(\chi^2_{24}\ge 33{,}270).Usando aproximação normal para \chi^2_{24} (média 24, desvio 6{,}928): z=\frac{33{,}270-24}{6{,}928}\approx 1{,}338,e a cauda superior corresponde a aproximadamente 1-Phi(1{,}338)\approx 0{,}091.
  • Resultado numérico: \beta(4)\approx 0{,}091\\ (9{,}1\%).
  • Interpretação: a gerência queria \beta(4)<0{,}10. Como 0{,}091<0{,}10, o procedimento adotado está atingindo o desejo (a probabilidade de não detectar a diminuição quando \sigma=4 é cerca de 9{,}1\%, menor que 10\%).
Também podemos dizer o poder do teste em \sigma=4 é 1-\beta(4)\approx 0{,}909.

Passo 5

Item (c): formular o teste e apresentar (descrever) a função de potência (função característica de operação), indicando o valor no ponto \sigma=6{,}2.
  • Hipóteses (fórmula): H_0:\\ \sigma^2=\sigma_0^2=(6{,}2)^2\qquad\text{versus}\qquad H_a:\\ \sigma^2<\sigma_0^2.
  • Estatística de teste: T=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\quad\text{com }T\sim\chi^2_{24}\text{ sob }H_0.
  • Região crítica: \{T<\chi^2_{0{,}05,24}\}=\{T<13{,}848\}.
  • Função de potência (power) \pi(\sigma) é a probabilidade de rejeitar H_0 para cada valor verdadeiro de \sigma: \pi(\sigma)=P(\text{rejeitar }H_0\mid \sigma) =P\!\Big(\chi^2_{24} < 13{,}848\cdot\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\Big) =F_{\chi^2_{24}}\!\Big(13{,}848\cdot\frac{38{,}44}{\sigma^2}\Big).Aqui F_{\chi^2_{24}} é a função de distribuição acumulada da \chi^2 com 24 graus de liberdade.
  • Valor no ponto \sigma=\sigma_0=6{,}2: \pi(6{,}2)=P(\text{rejeitar }H_0\mid\sigma=6{,}2)=\alpha=0{,}05.(Por definição: sob H_0 a probabilidade de rejeitar é o nível de significância.)
  • Esboço qualitativo do gráfico de \pi(\sigma) (como desenhar na prova):
    • No eixo horizontal: valores de \sigma (positivo). No eixo vertical: \pi(\sigma)\in[0,1].
    • Para \sigma\to 0 (variância muito menor), \pi(\sigma)\to 1 (alto poder).
    • Para \sigma=\sigma_0=6{,}2, \pi=0{,}05 (marcar ponto).
    • Para \sigma\to\infty, \pi(\sigma)\to 0.
    • A curva é monotonamente decrescente em \sigma (quanto maior o desvio real, menos chance de rejeitar que a variância é menor).
    • Para \sigma=4, a potência é \pi(4)\approx 1-0{,}091=0{,}909 (marcar esse ponto também).

Passo 6

Item (d): definições exemplificadas sucintamente com os elementos desta questão (tom amigável e direto).
(i) Hipótese nula e hipótese alternativa:
  • Hipótese nula H_0: é a afirmação que assumimos verdadeira enquanto não há evidência contrária. Aqui H_0:\sigma^2=(6{,}2)^2 (a variância não mudou).
  • Hipótese alternativa H_a: é a afirmação que queremos mostrar evidências. Aqui H_a:\sigma^2<(6{,}2)^2 (a variância diminuiu).
(ii) Erro do tipo I e erro do tipo II:
  • Erro tipo I: rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira. Probabilidade = nível \alpha. Neste problema, com \alpha=0{,}05, há 5\% de chance de (incorretamente) concluir que a variação diminuiu quando na verdade não diminuiu.
  • Erro tipo II: não rejeitar H_0 quando H_a é verdadeira. A probabilidade depende do verdadeiro \sigma e chamamos \beta(\sigma). Ex.: se \sigma=4 a probabilidade de erro tipo II é \beta(4)\approx 0{,}091 (cerca de 9{,}1\%).
(iii) Estatística de teste:
  • É a quantidade calculada a partir da amostra usada para decidir. Aqui T=(n-1)S^2/\sigma_0^2. É escolhida porque tem uma distribuição conhecida ( \chi^2) sob H_0.
(iv) Região crítica:
  • Conjunto de valores da estatística que levam à rejeição de H_0. Aqui é \{T<13{,}848\} para \alpha=0{,}05.
(v) Nível de significância:
  • É o máximo risco de cometer erro tipo I que o pesquisador aceita. Aqui foi fixado em \alpha=5\%: aceitar 5% de chance de rejeitar H_0 quando ele é verdadeiro.

Resposta

(a) Sim. Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%: T\approx 11{,}547<\chi^2_{0{,}05,24}\approx13{,}848, logo há evidência de diminuição da variação.
(b) Probabilidade de erro tipo II para \sigma=4: \beta(4)\approx 0{,}091 (9{,}1%), portanto o desejo ( \beta<0{,}10) é atendido.
(c) Hipóteses: H_0:\sigma^2=(6{,}2)^2 versus H_a:\sigma^2<(6{,}2)^2. Estatística T=(n-1)S^2/\sigma_0^2. Função de potência
\displaystyle \pi(\sigma)=F_{\chi^2_{24}}\!\Big(13{,}848\cdot\frac{38{,}44}{\sigma^2}\Big),
e \pi(6{,}2)=\alpha=0{,}05.
(d) (i) H_0 é a hipótese de “sem mudança” ( \sigma=6{,}2), H_a é “variação diminuiu” ( \sigma<6{,}2); (ii) erro tipo I = rejeitar H_0 quando verdadeiro (probabilidade =0{,}05); erro tipo II = não rejeitar H_0 quando falso (ex.: \beta(4)\approx0{,}091); (iii) estatística de teste = T=(n-1)S^2/\sigma_0^2; (iv) região crítica = \{T<13{,}848\}; (v) nível de significância = \alpha=5\%.

Exercícios relacionados