O Instituto Datafolha entrevistou 950 cat6́licos e 507 evangélicos de todo o país, entre 2 e 4 de dezembro de 2025, aos quais, dentre outras, fez a seguinte pergunta: “Você aprova ou desaprova o trabalho de Lula como presidente?”. 532 catblicos e 188 evangélicos responderam “Aprova”. O relatório da pesquisa informa que as margens de erro máximas das estimativas feitas para os segmentos das religiões católica e evangélica são iguals, respectivamente, a 3 e 4 por cento. Na sua introdução, o relatório diz ainda que “Foram realizadas 2.002 entrevistas em todo o Brasil, distribuídas em 113 municípios. A margem de erro máxima para o total da amostra é de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos, dentro do nível de confiança de 95 \%.”
a) Construa intervalos de 95 \% de confiança para as proporções populacionals de católicos e evangélicos que naquela data aprovavam o trabalho de Lula como presidente.
b) As afirmações sobre margens de erro estão corretas? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei esses números do texto):
  • Número de católicos entrevistados: n_{\rm cat}=950.
  • Número de católicos que aprovaram: x_{\rm cat}=532.
  • Número de evangélicos entrevistados: n_{\rm ev}=507.
  • Número de evangélicos que aprovaram: x_{\rm ev}=188.
  • Tamanho total da amostra informado: 2002 entrevistas.
  • Nível de confiança informado: 95\%.
  • O relatório informa também margens de erro máximas: 3\% para católicos, 4\% para evangélicos e 2\% para o total.
O que o exercício pede:
(a) Construir intervalos de 95\% de confiança para as proporções populacionais de católicos e evangélicos que aprovavam o trabalho do presidente naquela data.
(b) Dizer se as afirmações sobre as margens de erro (as que aparecem no relatório) estão corretas, justificando.

Passo 2

Qual método vou usar e por quê (explicação passo a passo do conceito):
  • Para estimar uma proporção populacional com um intervalo de confiança, usa-se a aproximação normal para a distribuição amostral da proporção amostral quando a amostra é grande o suficiente. A estatística chave é a proporção amostral
\hat p=\frac{x}{n},
onde x é o número de “sucessos” (quem aprovou) e n é o tamanho da amostra do segmento. Aqui vamos aplicar isso separadamente para católicos e evangélicos.
  • A fórmula do intervalo de confiança (IC) de 100(1-\alpha)\% para uma proporção é
\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Expliquei cada termo:
  • \hat p é a proporção observada na amostra.
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que corresponde ao nível de confiança. Para 95\% de confiança, z_{0,975}\approx 1,96.
  • A raiz dentro do produto é o erro padrão (desvio-padrão) da proporção amostral: \sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}.
  • Condição de razoabilidade para a aproximação normal: valores esperados n\hat p e n(1-\hat p) devem ser geralmente maiores que 5 (ou 10, regra prática). Vamos checar isso nos próximos passos.

Passo 3

Calcular as proporções amostrais e checar as condições:
  • Para católicos:
\hat p_{\rm cat}=\frac{532}{950}=0,56.
Verificação: n_{\rm cat}\hat p_{\rm cat}=950\cdot0,56=532 e n_{\rm cat}(1-\hat p_{\rm cat})=950\cdot0,44=418. Ambos são muito maiores que 5, então a aproximação normal é adequada.
  • Para evangélicos:
\hat p_{\rm ev}=\frac{188}{507}\approx 0,3708.
Verificação: n_{\rm ev}\hat p_{\rm ev}=507\cdot0,3708\approx188 e n_{\rm ev}(1-\hat p_{\rm ev})\approx507\cdot0,6292\approx319. Também estão muito acima de 5, logo a aproximação normal é adequada.

Passo 4

Calcular o erro padrão e a metade da largura do intervalo (a “margem”) para cada segmento, mostrando as contas:
  • Constante para 95\%: z_{0,975}\approx1,96.
Para católicos:
\text{Erro padrão}=\sqrt{\frac{\hat p_{\rm cat}(1-\hat p_{\rm cat})}{n_{\rm cat}}} =\sqrt{\frac{0,56\cdot0,44}{950}} =\sqrt{\frac{0,2464}{950}} =\sqrt{0,000259368\ldots} \approx 0,016111\ldotsã
Multiplicando por 1,96 obtemos a metade da largura do IC (margem de erro amostral):
\text{ME}_{\rm cat}=1,96\times0,016111\ldots\approx 0,03159\ldots\approx 0,0316.
Então o intervalo de 95\% é
\hat p_{\rm cat}\pm\text{ME}_{\rm cat}=0,56\pm0,0316,
ou seja
[0,56-0,0316,\;0,56+0,0316]=[0,5284,\;0,5916].
Para evangélicos:
\text{Erro padrão}=\sqrt{\frac{\hat p_{\rm ev}(1-\hat p_{\rm ev})}{n_{\rm ev}}} =\sqrt{\frac{0,370815\ldots\cdot0,629185\ldots}{507}} \approx\sqrt{\frac{0,233344\ldots}{507}} \approx\sqrt{0,00046022\ldots} \approx 0,021458\ldotsã
Multiplicando por 1,96:
\text{ME}_{\rm ev}=1,96\times0,021458\ldots\approx 0,042059\ldots\approx 0,04206.
O intervalo de 95\% é
\hat p_{\rm ev}\pm\text{ME}_{\rm ev}\approx 0,3708\pm0,04206,
ou seja
[0,3708-0,04206,\;0,3708+0,04206]\approx[0,3287\ldots,\;0,4129\ldots]\approx[0,3288,\;0,4129].
(Se preferir em porcentagem, multiplica-se os números por 100.)

Passo 5

Interpretação numérica e comparação com as margens informadas no relatório:
  • Católicos: intervalo de 95\% é aproximadamente [0,5284,\;0,5916], ou seja 52,84\% a 59,16\%. A metade da largura (margem de erro real calculada) é cerca de 3,16 pontos percentuais.
  • Evangélicos: intervalo de 95\% é aproximadamente [0,3288,\;0,4129], ou seja 32,88\% a 41,29\%. A metade da largura (margem de erro real calculada) é cerca de 4,21 pontos percentuais.
  • Para a amostra total n=2002 (comentário adicional para comparar com o relatório): a margem máxima teórica (assumindo o pior caso \hat p=0,5) é
1,96\sqrt{\frac{0,25}{2002}}\approx 1,96\cdot0,01118\approx0,0219\approx 2,19\%,
ou seja cerca de 2,2 pontos percentuais, não exatamente 2\%.
Conclusão sobre as afirmações do relatório:
  • Os valores divulgados no relatório ( 3\% para católicos, 4\% para evangélicos, 2\% para o total) são aproximações arredondadas. Os cálculos clássicos com z=1,96 e usando as proporções observadas dão margens ligeiramente maiores: aproximadamente 3,16\% (católicos) e 4,21\% (evangélicos); para o total dá cerca de 2,19\%.
  • Portanto, as afirmações não são exatamente corretas num sentido numérico rigoroso — elas subestimam levemente a margem encontrada pelos cálculos (diferença pequena, provavelmente causada por arredondamento do relatório ou por uso de convenções de apresentação). Além disso, em pesquisas reais podem entrar ajustes (pesos, efeito de desenho amostral, correções) que alterem a margem efetiva; se o instituto aplicou correções/ajustes, a margem divulgada pode partir desses ajustes. Mas com a fórmula padrão e os dados informados, os valores são os que calculei acima.

Resposta

(a) Católicos: 95\% IC [0,5284,\;0,5916] (ou 52,84\% a 59,16\%).
(a) Evangélicos: 95\% IC [0,3288,\;0,4129] (ou 32,88\% a 41,29\%).
(b) Não exatamente; os cálculos padrão com z=1,96 dão margens aproximadamente 3,16\% (católicos), 4,21\% (evangélicos) e 2,19\% (total), logo os números do relatório ( 3\%, 4\%, 2\%) são arredondamentos ligeiramente otimistas.

Exercícios relacionados