Suponha que você ande sobre um terreno plano percorrendo as seguintes distâncias nas direções indicadas, em qualquer ordem possível e sucessivamente:
3 metros para leste; 2 metros para norte; 3 metros para oeste.
A que distância do ponto de partida você chegará ao fim da caminhada?
Quantas possibilidades são possíveis de fazer caminhada?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que você anda sobre um terreno plano fazendo três “movimentos” sucessivos, em qualquer ordem:
  • 3 m para leste
  • 2 m para norte
  • 3 m para oeste
Precisamos usar dois conteúdos principais:
  1. Soma de vetores num plano e como achar o módulo (distância) do vetor resultante.
  2. Contar permutações (ordens possíveis) de três movimentos distintos.

Passo 2

Vamos traduzir cada trecho de caminhada num vetor no sistema de coordenadas (x, y):
  • “3 m para leste” vira o vetor vec R = vec A + vec B + vec C
  • “2 m para norte” vira o vetor
  • “3 m para oeste” vira o vetor
A teoria aqui é que, em movimentos sucessivos, o deslocamento total é a soma dos vetores:

Passo 3

Vamos somar componente a componente:
vec R = (3,0) + (0,2) + (-3,0) = (3 + 0 - 3,; 0 + 2 + 0) = (0,;2)
Perceba que os 3 m para leste e os 3 m para oeste se anulam no eixo x, sobrando só os 2 m para norte no eixo y.

Passo 4

Agora, para achar a distância do ponto de partida (módulo de |vec R| = raiz(Rx)^2 + (Ry)^2 = raiz0^2 + 2^2 = 2 ), usamos a fórmula
Então você vai ficar a 2 m do ponto de partida.

Passo 5

Para contar de quantas formas dá pra fazer esses três movimentos em ordem qualquer, usamos permutação de 3 objetos distintos:
3! = 3 times 2 times 1 = 6

Resposta

Você termina a caminhada a 2 m do ponto de partida, e existem 6 sequências diferentes para realizar os três movimentos.

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