Suponha que você ande sobre um terreno plano percorrendo as seguintes distâncias nas direções indicadas, em qualquer ordem possível e sucessivamente:
3 metros para leste; 2 metros para norte; 3 metros para oeste.
A que distância do ponto de partida você chegará ao fim da caminhada?
Quantas possibilidades são possíveis de fazer caminhada?
3 metros para leste; 2 metros para norte; 3 metros para oeste.
A que distância do ponto de partida você chegará ao fim da caminhada?
Quantas possibilidades são possíveis de fazer caminhada?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que você anda sobre um terreno plano fazendo três “movimentos” sucessivos, em qualquer ordem:
- 3 m para leste
- 2 m para norte
- 3 m para oeste
Precisamos usar dois conteúdos principais:
- Soma de vetores num plano e como achar o módulo (distância) do vetor resultante.
- Contar permutações (ordens possíveis) de três movimentos distintos.
Passo 2
Vamos traduzir cada trecho de caminhada num vetor no sistema de coordenadas (x, y):
- “3 m para leste” vira o vetor
- “2 m para norte” vira o vetor
- “3 m para oeste” vira o vetor
A teoria aqui é que, em movimentos sucessivos, o deslocamento total é a soma dos vetores:
Passo 3
Vamos somar componente a componente:
Perceba que os 3 m para leste e os 3 m para oeste se anulam no eixo x, sobrando só os 2 m para norte no eixo y.
Passo 4
Agora, para achar a distância do ponto de partida (módulo de
), usamos a fórmula
Então você vai ficar a 2 m do ponto de partida.
Passo 5
Para contar de quantas formas dá pra fazer esses três movimentos em ordem qualquer, usamos permutação de 3 objetos distintos:
Resposta
Você termina a caminhada a 2 m do ponto de partida, e existem 6 sequências diferentes para realizar os três movimentos.