Suponha que você arremesse uma bola de tênis para cima, ao longo do eixo y, com uma velocidade inicial v_{1}. Considere como dados v_{1} e a aceleração da gravidade g. Nessas condições:
(a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? (Valor 0,75 )
(b) Qual é a altura máxima que a bola alcança em relação ao ponto que foi lançada? (Valor 0,75 )
(c) Quanto tempo a bola leva para atingir a posição y^{\prime}, acima da posição inicial? (Valor 0,50 )

Passo 1

O enunciado trata do movimento vertical de uma bola lançada para cima com velocidade inicial v_{1} e aceleração da gravidade g. O conteúdo necessário é a cinemática de movimento uniformemente variado (MUV), em que a velocidade e a posição evoluem segundo:
– velocidade instantânea: v(t)=v_{1}-g\,t
– posição:
y(t)=v_{1}\,t-\tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}
Usaremos essas fórmulas para (a) achar o instante em que v=0, (b) o valor de y nesse instante e (c) resolver y(t)=y' em função de y'.

Passo 2

Para a altura máxima a velocidade instantânea se anula, ou seja,
0=v_{1}-g\,t_{\max}.
Isolando t_{\max}, vem
t_{\max}=\frac{v_{1}}{g}.

Passo 3

A altura máxima y_{\max} é y(t_{\max}). Usando
y(t)=v_{1}\,t-\tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}
e substituindo t=t_{\max}=v_{1}/g, obtemos
y_{\max} = v_{1}\!\bigl(\tfrac{v_{1}}{g}\bigr) -\tfrac{1}{2}\,g\!\bigl(\tfrac{v_{1}}{g}\bigr)^{2} =\frac{v_{1}^{2}}{g}-\frac{1}{2}\,\frac{v_{1}^{2}}{g} =\frac{v_{1}^{2}}{2\,g}.

Passo 4

Para achar o(s) instante(s) em que a bola atinge uma altura genérica y', impomos
y(t)=y' \quad\Longrightarrow\quad v_{1}\,t-\tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}=y'.
Reescrevendo em forma de equação quadrática em t:
\tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}-v_{1}\,t+y'=0.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara nessa equação:
t =\frac{v_{1}\pm\sqrt{\,v_{1}^{2}-2\,g\,y'\,}}{g}.
Isso fornece o instante de subida (com o sinal “ -”) e o instante de descida (com o sinal “ +”).

Resposta

(a) t_{\max}=\frac{v_{1}}{g}.
(b) y_{\max}=\frac{v_{1}^{2}}{2\,g}.
(c) t=\frac{v_{1}\pm\sqrt{v_{1}^{2}-2\,g\,y'}}{g}.

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