Suponha que você está desenvolvendo um biosensor luminoso para detectar Alzheimer em função da idade dos pacientes (Ip), baseando-se na concentração de açúcar no sangue (Cs) e da frequência da radiação da luz absorvida pela amostra (
). Considerando que a idade dos pacientes é uma diferencial completa (Ip), esboce uma expressão para medir esta propriedade, em termos da calorimetria. Explique a equação proposta.
Dados:
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Passo 1
O enunciado pede para elaborar uma expressão que ligue o índice de detecção do Alzheimer (que vamos chamar de
) à concentração de açúcar no sangue
e ao comprimento de onda da luz que é absorvida
, usando uma abordagem de calorimetria. Como
é dito ser uma diferencial completa, nós vamos:
- Reconhecer que
é uma função de duas variáveis e . - Ver como a calorimetria entra, relacionando o calor trocado
com o número de mols de açúcar e a energia de cada fóton . - Propor que o sinal “
” seja proporcional a , um diferencial exato em termodinâmica.
Passo 2
Como
é uma função de duas variáveis, seu diferencial total é
Nosso objetivo será encontrar uma forma explícita de
compatível com calorimetria.
Passo 3
Na calorimetria de uma amostra de volume
contendo açúcar em concentração
(em mo
), o número de mols de açúcar é
Cada fóton de comprimento de onda
leva energia
Se cada molécula absorve um fóton, o calor total trocado é
Passo 4
Em termodinâmica, é comum tornar adimensional um aporte de calor dividindo-o por
. Assim definimos
Aqui
é a constante universal dos gases
,
é a temperatura absoluta (K) e
,
são constantes de Planck e da luz, respectivamente.
Passo 5
Dessa forma obtemos a expressão final para o índice de detecção em função de
e
:
Ela diz que, para um dado volume de amostra e temperatura,
cresce linearmente com a concentração de açúcar e decresce conforme aumentamos o comprimento de onda absorvido.
Passo 6
Podemos verificar a exatidão da diferencial completa calculando
o que coincide com a forma de um diferencial total de uma função
.