Suponha que você está desenvolvendo um biosensor luminoso para detectar Alzheimer em função da idade dos pacientes (Ip), baseando-se na concentração de açúcar no sangue (Cs) e da frequência da radiação da luz absorvida pela amostra ( \lambda ). Considerando que a idade dos pacientes é uma diferencial completa (Ip), esboce uma expressão para medir esta propriedade, em termos da calorimetria. Explique a equação proposta.
Dados: \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{K} / \mathrm{mol}; \mathrm{R}=0,082 \mathrm{~atm} . \mathrm{L} / \mathrm{K} . \mathrm{mol}; 1 \mathrm{~atm} . \mathrm{L}=101,325 \mathrm{~J};

Passo 1

O enunciado pede para elaborar uma expressão que ligue o índice de detecção do Alzheimer (que vamos chamar de \mathrm{Ip}) à concentração de açúcar no sangue \mathrm{Cs} e ao comprimento de onda da luz que é absorvida \lambda, usando uma abordagem de calorimetria. Como \mathrm{Ip}=\mathrm{Ip}(\mathrm{Cs},\lambda) é dito ser uma diferencial completa, nós vamos:
  1. Reconhecer que \mathrm{Ip} é uma função de duas variáveis \mathrm{Cs} e \lambda.
  2. Ver como a calorimetria entra, relacionando o calor trocado Q com o número de mols de açúcar e a energia de cada fóton E = h\,c/\lambda.
  3. Propor que o sinal “ \mathrm{Ip}” seja proporcional a Q/(R\,T), um diferencial exato em termodinâmica.

Passo 2

Como \mathrm{Ip} é uma função de duas variáveis, seu diferencial total é
d\mathrm{Ip} =\Bigl(\frac{\partial \mathrm{Ip}}{\partial \mathrm{Cs}}\Bigr)_{\lambda}\,d\mathrm{Cs} +\Bigl(\frac{\partial \mathrm{Ip}}{\partial \lambda}\Bigr)_{\mathrm{Cs}}\,d\lambda.
Nosso objetivo será encontrar uma forma explícita de \mathrm{Ip}(\mathrm{Cs},\lambda) compatível com calorimetria.

Passo 3

Na calorimetria de uma amostra de volume V contendo açúcar em concentração \mathrm{Cs} (em mo l\cdot L ^{-1}), o número de mols de açúcar é
n = \mathrm{Cs}\,V.
Cada fóton de comprimento de onda \lambda leva energia
E_{\text{fóton}} = h\,\nu = \frac{h\,c}{\lambda}.ó
Se cada molécula absorve um fóton, o calor total trocado é
Q = n\,E_{\text{fóton}} = \mathrm{Cs}\,V\,\frac{h\,c}{\lambda}.ó

Passo 4

Em termodinâmica, é comum tornar adimensional um aporte de calor dividindo-o por R\,T. Assim definimos
\mathrm{Ip} \;\equiv\; \frac{Q}{R\,T} \;=\;\frac{\mathrm{Cs}\,V\,h\,c}{R\,T\,\lambda}.
Aqui R é a constante universal dos gases 8{,}314\;\mathrm{J/(K\cdot mol)}, T é a temperatura absoluta (K) e h, c são constantes de Planck e da luz, respectivamente.

Passo 5

Dessa forma obtemos a expressão final para o índice de detecção em função de \mathrm{Cs} e \lambda:
\boxed{ \mathrm{Ip}(\mathrm{Cs},\lambda) = \frac{V\,h\,c}{R\,T}\;\frac{\mathrm{Cs}}{\lambda} }.
Ela diz que, para um dado volume de amostra e temperatura, \mathrm{Ip} cresce linearmente com a concentração de açúcar e decresce conforme aumentamos o comprimento de onda absorvido.

Passo 6

Podemos verificar a exatidão da diferencial completa calculando
d\mathrm{Ip} = \frac{V\,h\,c}{R\,T} \!\Bigl(\frac{1}{\lambda}\,d\mathrm{Cs} - \frac{\mathrm{Cs}}{\lambda^{2}}\,d\lambda\Bigr),
o que coincide com a forma de um diferencial total de uma função \mathrm{Ip}(\mathrm{Cs},\lambda).

Resposta

\mathrm{Ip}(\mathrm{Cs},\lambda) = \frac{V\,h\,c}{R\,T}\;\frac{\mathrm{Cs}}{\lambda}, \quad d\mathrm{Ip} = \frac{V\,h\,c}{R\,T} \Bigl(\tfrac{1}{\lambda}\,d\mathrm{Cs} - \tfrac{\mathrm{Cs}}{\lambda^{2}}\,d\lambda\Bigr).

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