Suponha que você esteja caminhando sobre um relevo cuja forma é dada implicitamente pela equação
onde
e
são medidos em quilômetros e você está em um ponto com coordenadas
. O eixo
positivo aponta para o leste e o eixo
positivo aponta para o norte.
(a) (6 pontos) Calcule as derivadas parciais da altura
com respeito as variáveis
e
em
.
(b) (3 pontos) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? A que taxa?
(c) (3 pontos) Se você caminhar em direção ao Noroeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?
(d) (3 pontos) Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação à horizontal?
(a) (6 pontos) Calcule as derivadas parciais da altura
(b) (3 pontos) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? A que taxa?
(c) (3 pontos) Se você caminhar em direção ao Noroeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?
(d) (3 pontos) Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação à horizontal?
Passo 1
O enunciado descreve uma superfície dada implicitamente por
e pede:
(a) as derivadas parciais e
em
;
(b) a subida ou descida ao andar para o Sul;
(c) a subida ou descida ao andar para o Noroeste;
(d) a direção de máxima inclinação, a taxa de elevação e o ângulo de subida relativo à horizontal.
Vamos usar diferenciação implícita para encontrar e
, depois derivadas direcionais e gradiente.
(a) as derivadas parciais
(b) a subida ou descida ao andar para o Sul;
(c) a subida ou descida ao andar para o Noroeste;
(d) a direção de máxima inclinação, a taxa de elevação e o ângulo de subida relativo à horizontal.
Vamos usar diferenciação implícita para encontrar
Passo 2
Diferenciando
em relação a
e
, lembrando que
, temos
Aqui
Passo 3
Em
vale
Logo
Passo 4
Para andar exatamente para o Sul, o vetor de passo na projeção
é
. A derivada direcional é
Como é negativo, você desce à taxa de
km de altura por km de percurso.
Passo 5
Para andar em direção ao Noroeste, tomamos
e sua normalização
. Então
Como é positivo, você sobe à taxa de
km de altura por km de percurso.
Passo 6
O gradiente de
é
A direção de máxima inclinação é a de
, cujo módulo é
Esse valor é a taxa máxima de elevação (km de altura por km de percurso), e a direção unitária é
.
O ângulo de subida em relação à horizontal satisfaz
O ângulo de subida
Resposta
(a)
(b) Você desce; taxa de descida km/km.
(c) Você sobe; taxa de subida km/km.
(d) Direção de (oeste-forte e norte-fraco), taxa máxima
km/km, e ângulo
.
(b) Você desce; taxa de descida
(c) Você sobe; taxa de subida
(d) Direção de