Suponha que você esteja caminhando sobre um relevo cuja forma é dada implicitamente pela equação
x y+z^3 x-2 y z=0,
onde x, y e z são medidos em quilômetros e você está em um ponto com coordenadas (1,1,1). O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte.
(a) (6 pontos) Calcule as derivadas parciais da altura z com respeito as variáveis x e y em (1,1,1).
(b) (3 pontos) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? A que taxa?
(c) (3 pontos) Se você caminhar em direção ao Noroeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?
(d) (3 pontos) Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação à horizontal?

Passo 1

O enunciado descreve uma superfície dada implicitamente por
F(x,y,z)=x y + z^3x - 2 y z = 0
e pede:
(a) as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y em (1,1,1);
(b) a subida ou descida ao andar para o Sul;
(c) a subida ou descida ao andar para o Noroeste;
(d) a direção de máxima inclinação, a taxa de elevação e o ângulo de subida relativo à horizontal.
Vamos usar diferenciação implícita para encontrar partialx z e partialy z, depois derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Diferenciando F(x,y,z)=0 em relação a x e y, lembrando que z=z(x,y), temos
Fx + Fz,partial zpartial x=0 Rightarrow partial zpartial x=-FxFz,
Fy + Fz,partial zpartial y=0 Rightarrow partial zpartial y=-FyFz
Aqui
Fx = partialpartial x(x y + z^3 x -2 y z)=y + z^3,
Fy = x -2z,
Fz = 3z^2 x -2y

Passo 3

Em (x,y,z)=(1,1,1) vale
Fx(1,1,1)=1+1^3=2, Fy(1,1,1)=1-2cdot1=-1, Fz(1,1,1)=3cdot1^2cdot1-2cdot1=1
Logo
partial zpartial x(1,1)= -21=-2, partial zpartial y(1,1)= --11=1

Passo 4

Para andar exatamente para o Sul, o vetor de passo na projeção xy é u=(0,-1). A derivada direcional é
Duz = zxcdot0 + zycdot(-1) = -1
Como é negativo, você desce à taxa de 1 km de altura por km de percurso.

Passo 5

Para andar em direção ao Noroeste, tomamos v=(-1,1) e sua normalização hat v=(-1/raiz2,,1/raiz2). Então
Dhat vz = zx-1raiz2 + zy1raiz2 = -2(-1)+1;;raiz2 = 3raiz2 approx2,12
Como é positivo, você sobe à taxa de tfrac3raiz2 km de altura por km de percurso.

Passo 6

O gradiente de z é
nabla z = (zx,,zy)=(-2,,1)
A direção de máxima inclinação é a de nabla z, cujo módulo é
|nabla z|=raiz(-2)^2+1^2=raiz5approx2,24
Esse valor é a taxa máxima de elevação (km de altura por km de percurso), e a direção unitária é
1raiz5(-2,1).
O ângulo de subida alpha em relação à horizontal satisfaz
tanalpha = |nabla z| = raiz5 Rightarrow alpha = arctan(raiz5)approx66,0^circ

Resposta

(a) zx(1,1)=-2, zy(1,1)=1
(b) Você desce; taxa de descida 1 km/km.
(c) Você sobe; taxa de subida tfrac3raiz2 km/km.
(d) Direção de nabla z =(-2,1) (oeste-forte e norte-fraco), taxa máxima raiz5 km/km, e ângulo alpha=arctan(raiz5)approx66,0^circ.

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