Suponha que você seja administrador de um fabricante de relógios de pulso que opera em um mercado de concorrência perfeita. Seu custo total de produção por dia é expresso por \mathrm{CT}(\mathrm{q})=200+2 \mathrm{q}^{2}, em que q é a quantidade de relógios produzidas em um dia. Avalie as afirmativas:
(i) Se o preço do produto for R$100, então a produção de máximo lucro da empresa será de 25 unidades por dia.
(ii) Se todas as empresas tiverem uma estrutura de custo semelhante à empresa do enunciado, entāo, ao preço de R \ 100 , haverá uma tendência de entrada de novas empresas no mercado. (iii) Ao preço de R\$ 80, a melhor decisão para a empresa é não produzir. (iv) Ao preço de \(\mathrm{R} \\) 120\(, o lucro máximo da empresa será de\)\mathrm{R} \$1.600 por dia.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Custo total diário: \mathrm{CT}(q)=200+2q^{2}, onde q é a quantidade de relógios produzidos por dia.
  • Mercado de concorrência perfeita (logo o preço P é dado ao produtor e P=\mathrm{RM}, receita marginal).
    O que o enunciado pede: avaliar a veracidade das afirmativas (i), (ii), (iii) e (iv):
    (i) Se P=\mathrm{R}\$100, a produção de máximo lucro será 25 unidades/dia?
    (ii) Se todas as firmas tiverem custos iguais, então, a P=\mathrm{R}\$100 haverá tendência de entrada de novas empresas no mercado?
    (iii) Ao preço de \mathrm{R}\$80, a melhor decisão é não produzir?
    (iv) Ao preço de \mathrm{R}\$120, o lucro máximo da empresa será \mathrm{R}\$1.600 por dia?

Passo 2

Primeiro vamos extrair funções importantes dos custos para aplicar a regra de maximização de lucro em concorrência perfeita.
  • Custo variável \mathrm{CV}(q) = \mathrm{CT}(q) - \mathrm{CF}. Aqui o termo independente é o custo fixo. Pela forma dada, o custo fixo é 200. Então
\mathrm{CV}(q)=2q^{2}.
  • Custo fixo \mathrm{CF}=200.
  • Custo médio (custo médio total) \mathrm{CM}(q)=\dfrac{\mathrm{CT}(q)}{q} para q>0.
  • Custo variável médio \mathrm{CVM}(q)=\dfrac{\mathrm{CV}(q)}{q} para q>0.
  • Custo marginal \mathrm{CMg}(q)=\dfrac{d\mathrm{CT}}{dq}.

Passo 3

Calcular explicitamente \mathrm{CMg}(q), \mathrm{CVM}(q) e \mathrm{CM}(q).
  • Derivando \mathrm{CT}(q)=200+2q^{2} obtemos
\mathrm{CMg}(q)=\frac{d}{dq}\bigl(200+2q^{2}\bigr)=4q.
  • Custo variável médio:
\mathrm{CVM}(q)=\frac{2q^{2}}{q}=2q.
  • Custo médio total:
\mathrm{CM}(q)=\frac{200+2q^{2}}{q}=\frac{200}{q}+2q.
Explicação curta: \mathrm{CMg} indica o acréscimo no custo total por produzir mais uma unidade; \mathrm{CVM} é o custo variável por unidade; \mathrm{CM} é o custo total por unidade (inclui fixo diluído).

Passo 4

Regra de lucro em concorrência perfeita e condição de shutdown (explicada didaticamente).
  • Em concorrência perfeita, o preço de mercado P é a receita marginal: \mathrm{RM}=P. A condição de maximização do lucro interior é igualar receita marginal ao custo marginal:
P=\mathrm{CMg}(q).
  • Isso dá a quantidade candidata q^{*}. Como \mathrm{CMg}(q) é crescente ( 4q aumenta com q), essa igualidade fornece um máximo de lucro global (ou o ponto interior de otimização).
  • Porém há a condição de desligamento no curto prazo: a firma produz se P\ge \min_{q>0}\mathrm{CVM}(q). Se P for menor que o mínimo do custo variável médio, a firma não consegue cobrir nem os custos variáveis e, no curto prazo, é melhor fechar (produzir q=0). Se P é maior ou igual ao mínimo de \mathrm{CVM}, produz-se na regra P=\mathrm{CMg}.

Passo 5

Determinar q^{*} em função de P usando P=\mathrm{CMg}(q)=4q.
  • Igualando temos:
P=4q \quad\Rightarrow\quad q^{*}=\frac{P}{4}.
Comentário: essa fórmula vale sempre que o q^{*} obtido satisfaça a condição de produzir (isto é, P\ge\min \mathrm{CVM}). Vamos usar esta fórmula para cada preço pedido.

Passo 6

Encontrar o mínimo de \mathrm{CVM}(q) para aplicar a condição de shutdown.
  • \mathrm{CVM}(q)=2q é uma função linear crescente em q (com intercepto zero). O mínimo para q>0 é obtido no menor q considerado; formalmente, \lim_{q\to0^+}2q=0. Então \min_{q>0}\mathrm{CVM}(q)=0.
    Interpretação: como o custo variável médio tende a zero quando q\to0, qualquer preço positivo P>0 é maior que \min\mathrm{CVM}, logo a condição de shutdown nunca impede a produção para preços positivos — a firma sempre pode cobrir os custos variáveis (em limite). Na prática, verificar a viabilidade calculando lucro também é útil.

Passo 7

Calcular o lucro máximo \pi^{*} substituindo q^{*}=\dfrac{P}{4} em \pi(q)=Pq-\mathrm{CT}(q).
  • Receita total: \mathrm{RT}=Pq.
  • Lucro: \pi(q)=Pq-(200+2q^{2}).
  • Substituindo q^{*}=\dfrac{P}{4}:
\pi^{*}=P\cdot\frac{P}{4}-\Bigl(200+2\Bigl(\frac{P}{4}\Bigr)^{2}\Bigr).
  • Calcular passo a passo:
P\cdot\frac{P}{4}=\frac{P^{2}}{4}, \qquad 2\Bigl(\frac{P}{4}\Bigr)^{2}=2\cdot\frac{P^{2}}{16}=\frac{P^{2}}{8}.
Logo
\pi^{*}=\frac{P^{2}}{4}-200-\frac{P^{2}}{8}=\frac{P^{2}}{8}-200.
Explicação: combinando termos em P^{2} obtém-se essa forma simples, que facilita avaliar lucro para qualquer P.

Passo 8

Analisar cada afirmativa usando as fórmulas obtidas.
(i) Para P=\mathrm{R}\$100, calcular q^{*}=\dfrac{P}{4}.
q^{*}=\frac{100}{4}=25.
Portanto a afirmativa (i) é verdadeira, pois a produção que iguala P e \mathrm{CMg} é 25 unidades/dia.

Passo 9

(ii) Verificar se, com P=\mathrm{R}\$100, há tendência de entrada de novas firmas.
  • Calcular o lucro máximo com P=100 usando \pi^{*}=\dfrac{P^{2}}{8}-200:
\pi^{*}=\frac{100^{2}}{8}-200=\frac{10000}{8}-200=1250-200=1050.
  • O lucro econômico é positivo ( \mathrm{R}\$1050 por dia) — isso significa que firmas do mercado ganham lucro acima do normal. Em concorrência perfeita, lucros positivos atraem entrada de novas firmas até que o preço caia ao ponto em que lucro econômico seja zero no longo prazo.
    Logo a afirmativa (ii) é verdadeira: existirá tendência de entrada de novas empresas enquanto persistir esse preço e lucro positivo.

Passo 10

(iii) Para P=\mathrm{R}\$80, determinar se a melhor decisão é não produzir.
  • Primeiro q^{*}=\dfrac{80}{4}=20.
  • Verificar lucro:
\pi^{*}=\frac{80^{2}}{8}-200=\frac{6400}{8}-200=800-200=600>0.
  • Além disso, como \min\mathrm{CVM}=0, P=80 está muito acima do mínimo de custo variável médio; portanto produzir é viável.
    Conclusão: a melhor decisão NÃO é não produzir; a firma deve produzir e obter lucro positivo. Assim a afirmativa (iii) é falsa.

Passo 11

(iv) Para P=\mathrm{R}\$120, calcular o lucro máximo e comparar com a afirmativa.
  • q^{*}=\dfrac{120}{4}=30.
  • Lucro:
\pi^{*}=\frac{120^{2}}{8}-200=\frac{14400}{8}-200=1800-200=1600.
Portanto a afirmativa (iv) é verdadeira: o lucro máximo é \mathrm{R}\$1.600 por dia.

Resposta

(i) Verdadeira
(ii) Verdadeira
(iii) Falsa
(iv) Verdadeira

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