\int_{0}^{2 \pi} e^{x} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{2\pi} e^{x}\sin x \, dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: 0 e 2\pi.
  • Integrando: e^{x}\sin x.
    Pergunta: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: a fórmula de integração por partes. Ela diz que, para funções u(x) e v(x) suficientemente suaves,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando os símbolos:
  • u é uma função que escolhemos; du é sua diferencial ( du = u'(x)\,dx).
  • dv é a outra parte do integrando; v é uma primitiva de dv ( v = \int dv).
    Dica prática: quando aparecem exponenciais com senos ou cossenos, escolher o fator trigonométrico como u e e^x\,dx como dv costuma simplificar, porque derivando o trig dá outra função trig e primitivar e^x é simples.

Passo 3

Defina
I=\int_{0}^{2\pi} e^{x}\sin x \, dx.
Aplique integração por partes escolhendo u=\sin x e dv=e^{x}dx. Então
du=\cos x\,dx,\qquad v=\int e^{x}dx = e^{x}.
Pela fórmula,
I=\big[ e^{x}\sin x \big]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} e^{x}\cos x \, dx.
Agora calcule o termo de fronteira: \sin(0)=0 e \sin(2\pi)=0, logo
\big[ e^{x}\sin x \big]_{0}^{2\pi}=e^{2\pi}\cdot 0 - e^{0}\cdot 0 = 0.
Portanto obtemos a relação simples
I = -\int_{0}^{2\pi} e^{x}\cos x \, dx.
Denote temporariamente
J=\int_{0}^{2\pi} e^{x}\cos x \, dx.
Então I = -J. Vamos achar J.

Passo 4

Calcule J por integração por partes também. Escolha u=\cos x e dv=e^{x}dx. Então
du=-\sin x\,dx,\qquad v=e^{x}.
Aplicando a fórmula,
J=\big[ e^{x}\cos x \big]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} e^{x}(-\sin x)\,dx.
O integrando na segunda integral é +e^{x}\sin x, ou seja,
J=\big[ e^{x}\cos x \big]_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi} e^{x}\sin x \, dx.
Mas \int_{0}^{2\pi} e^{x}\sin x \, dx = I, então
J=\big[ e^{x}\cos x \big]_{0}^{2\pi} + I.
Calcule o termo de fronteira: \cos(0)=1 e \cos(2\pi)=1, logo
\big[ e^{x}\cos x \big]_{0}^{2\pi} = e^{2\pi}\cdot 1 - e^{0}\cdot 1 = e^{2\pi}-1.
Portanto
J = e^{2\pi}-1 + I.

Passo 5

Lembre que da Passo 3 temos I = -J. Substitua a expressão de J (Passo 4) nessa igualdade:
I = -J = -\big(e^{2\pi}-1 + I\big).
Desenvolvendo:
I = -e^{2\pi} + 1 - I.
Some I dos dois lados:
2I = 1 - e^{2\pi}.
Logo
I = \frac{1 - e^{2\pi}}{2}.

Passo 6

Resumo prático (o que você pode lembrar para a prova): uma alternativa ao processo acima é usar a técnica “integrar por partes duas vezes e resolver linearmente” que transforma a integral desconhecida numa equação linear em I. Para \int e^{ax}\sin(bx)\,dx o procedimento similar leva à fórmula fechada, mas aqui fizemos direto com limites e ficou rápido.

Resposta

\dfrac{1 - e^{2\pi}}{2}

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