Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- Limites de integração:
e . - Integrando:
.
Pergunta: encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: a fórmula de integração por partes. Ela diz que, para funções
e
suficientemente suaves,
Explicando os símbolos:
-
é uma função que escolhemos; é sua diferencial ( ). -
é a outra parte do integrando; é uma primitiva de ( ).
Dica prática: quando aparecem exponenciais com senos ou cossenos, escolher o fator trigonométrico comoe como costuma simplificar, porque derivando o trig dá outra função trig e primitivar é simples.
Passo 3
Defina
Aplique integração por partes escolhendo
e
. Então
Pela fórmula,
Agora calcule o termo de fronteira:
e
, logo
Portanto obtemos a relação simples
Denote temporariamente
Então
. Vamos achar
.
Passo 4
Calcule
por integração por partes também. Escolha
e
. Então
Aplicando a fórmula,
O integrando na segunda integral é
, ou seja,
Mas
, então
Calcule o termo de fronteira:
e
, logo
Portanto
Passo 5
Lembre que da Passo 3 temos
. Substitua a expressão de
(Passo 4) nessa igualdade:
Desenvolvendo:
Some
dos dois lados:
Logo
Passo 6
Resumo prático (o que você pode lembrar para a prova): uma alternativa ao processo acima é usar a técnica “integrar por partes duas vezes e resolver linearmente” que transforma a integral desconhecida numa equação linear em
. Para
o procedimento similar leva à fórmula fechada, mas aqui fizemos direto com limites e ficou rápido.