Vocé é gerente de uma fábrica que produz motores por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagern. A tecnologia pode ser resumida pela função de produção: \mathrm{q}-\mathrm{L}^{0.5} \mathrm{~K}, onde q é o número de motores produzidos por semana, L é o número de equipes de trabalho e K, o número de máquinas. Cada máquina é alugada ao custo, wı, de \ 20.000 por sermana e cada equipe de trabalhadores custaw_{2}=$20.000 por semana.O custo dos motores é dado pelo somatório do custo das máquinas, equipes de trabalho maiséóá$ 4.000 de matérias-primas por motor produzido (é4.000 q$ ). Sua fábrica possui 10 máquinas de montagem alugadas, as quais devem ser consideradas como um fator de produção fixo (curto prazo) que irá gerar um custo fixo de produção. Julgue as afirmativas abaixo:
(i) Pode-se escrever a equação de custo total (CT) em função da quantidade produzida (q) como: \mathrm{CT}=200.000+200 q^{2}+ 4000 q
(ii) Pode-se escrever a equação de custo marginal ( Cmg ) em função da quantidade produzida (q) como: \mathrm{Cmg}=400 q
(iii) Supondo que a empresa opera em um mercado concorrencial, se o preço de venda de cada motor for de \ 20.000 , então a produção de máximo lucro será de 40 motores por semana. (iv) Supondo que a empresa opera em um mercado concorrencial, se o preço de venda de cada motor for de \(\\) 40.000\(, então o lucro máximo da empresa será de\)\$1.420 .000 por semana.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede que julgemos as quatro afirmativas (i)–(iv):
  • Função de produção: q = L^{0{,}5}\,K, onde q = motores por semana, L = número de equipes e K = número de máquinas.
  • Custo por máquina (aluguel): w_{1}=\$20.000 por semana.
  • Custo por equipe: w_{2}=\$20.000 por semana.
  • Custo de matérias-primas: \$4.000 por motor, isto é, 4.000\,q.
  • A fábrica possui K=10 máquinas fixas no curto prazo (custo fixo).
  • As afirmativas a julgar:
    (i) \mathrm{CT}=200.000+200 q^{2}+4000 q.
    (ii) \mathrm{Cmg}=400 q.
    (iii) Em concorrência perfeita, com preço p=\$20.000, a produção de lucro máximo é q=40.
    (iv) Em concorrência perfeita, com preço p=\$40.000, o lucro máximo é \$1.420.000 por semana.

Passo 2

Vamos isolar L a partir da função de produção para expressar o custo variável em função de q. Partimos de
q = L^{0{,}5}\,K.
Para isolar L elevamos ao quadrado ambos os lados:
q^{2} = L\,K^{2}.
Assim
L = \frac{q^{2}}{K^{2}}.
Substituindo K=10 (dado do enunciado),
L = \frac{q^{2}}{10^{2}} = \frac{q^{2}}{100}.

Passo 3

Calcular os componentes de custo (todos em dólares):
  • Custo fixo das máquinas: w_{1}K = 20.000 \times 10 = 200.000.
  • Custo de mão de obra (variável): w_{2}L = 20.000 \times \dfrac{q^{2}}{100} = 200\,q^{2}.
  • Custo de matérias-primas (variável): 4.000\,q.
Somando tudo, o custo total (CT) em função de q é
\mathrm{CT}(q)=200.000 + 200\,q^{2} + 4.000\,q.
Portanto a afirmativa (i) está correta.

Passo 4

Definição e cálculo do custo marginal (Cmg). O custo marginal é a derivada do custo total em relação à quantidade q; ele indica quanto aumenta o custo total ao produzir uma unidade adicional. Tomando derivada de cada termo:
\frac{d}{dq}\big(200.000\big)=0,\qquad \frac{d}{dq}\big(200\,q^{2}\big)=400\,q,\qquad \frac{d}{dq}\big(4.000\,q\big)=4.000.
Assim o custo marginal é
\mathrm{Cmg}(q)=400\,q+4.000.
A afirmativa (ii) propôs \mathrm{Cmg}=400\,q, que ignora o termo linear em q; portanto (ii) é falsa.

Passo 5

Regra de maximização de lucro em concorrência perfeita: a firma escolhe q tal que p=\mathrm{Cmg}(q), desde que o preço cubra o custo variável médio no ponto (ou seja, p\geq \mathrm{AVC}(q)). Vamos calcular o custo variável médio (AVC). O custo variável total é 200\,q^{2}+4.000\,q, então
\mathrm{AVC}(q)=\frac{200\,q^{2}+4.000\,q}{q}=200\,q+4.000.

Passo 6

Testando a afirmativa (iii): preço p=\$20.000. Igualando preço e custo marginal:
20.000 = 400\,q + 4.000 \quad\Rightarrow\quad 400\,q = 16.000 \quad\Rightarrow\quad q=40.
Verificamos a condição de produção: \mathrm{AVC}(40)=200\cdot40+4.000=8.000+4.000=12.000, que é menor que o preço 20.000, logo a firma produz. Portanto a produção de máximo lucro é q=40 e a afirmativa (iii) é verdadeira.

Passo 7

Testando a afirmativa (iv): preço p=\$40.000. Igualando preço e custo marginal:
40.000 = 400\,q + 4.000 \quad\Rightarrow\quad 400\,q = 36.000 \quad\Rightarrow\quad q=90.
Verificamos \mathrm{AVC}(90)=200\cdot90+4.000=18.000+4.000=22.000<40.000, produção viável.
Calcular lucro máximo nesse q:
  • Receita total: \mathrm{RT}=p\cdot q = 40.000 \times 90 = 3.600.000.
  • Custo total: calcular cada termo em q=90: 200\,q^{2}=200\times 90^{2}=200\times 8.100=1.620.000,
4.000\,q=4.000\times 90=360.000,
\text{CT}=200.000 + 1.620.000 + 360.000 = 2.180.000.
  • Lucro: \pi=\mathrm{RT}-\mathrm{CT}=3.600.000-2.180.000=1.420.000.
Portanto a afirmativa (iv) está correta.

Passo 8

Resumo final das quatro afirmativas (sem repetir cálculos): (i) verdadeira; (ii) falsa; (iii) verdadeira; (iv) verdadeira.

Resposta

(i) Verdadeira
(ii) Falsa
(iii) Verdadeira
(iv) Verdadeira

Exercícios relacionados