Suponha que
são independentes com distribuição comum uniforme no intervalo
e considere sua média geométrica
. Mostre que
tem distribuição qui-quadrado. Qual o número de graus de liberdade?
Passo 1
O enunciado diz que
são independentes e identicamente distribuídas em
(uniforme). Definimos a média geométrica
e queremos mostrar que a variável
segue uma distribuição qui-quadrado. Para isso, vamos usar a transformação logarítmica e a escola de que
é
com 2 graus de liberdade quando
.
Passo 2
Escrevemos
em termos de
. Como
segue que
Logo,
é soma de
variáveis independentes do tipo
.
Passo 3
Para cada
, defina
Como
, sua função de distribuição é
em
. Calculamos então a CDF de
:
para
. Essa é exatamente a CDF de
com 2 graus de liberdade, pois
Logo
.
Passo 4
Como os
são independentes e cada um é
, a soma
segue uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade somados, isto é,