Suponha que X_{1}, \ldots, X_{n} são independentes com distribuição comum uniforme no intervalo (0,1) e considere sua média geométrica G=\sqrt[n]{X_{1} \cdots X_{n}}. Mostre que -2 n \ln G tem distribuição qui-quadrado. Qual o número de graus de liberdade?

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são independentes e identicamente distribuídas em (0,1) (uniforme). Definimos a média geométrica
G = \sqrt[n]{X_{1}\cdots X_{n}}
e queremos mostrar que a variável
T = -2\,n\ln G
segue uma distribuição qui-quadrado. Para isso, vamos usar a transformação logarítmica e a escola de que -2\ln U é \chi^{2} com 2 graus de liberdade quando U\sim\mathrm{Uniform}(0,1).

Passo 2

Escrevemos \ln G em termos de \ln X_i. Como
\ln G = \ln\bigl(X_{1}\cdots X_{n}\bigr)^{1/n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln X_{i},
segue que
T = -2\,n\ln G = -2\sum_{i=1}^{n}\ln X_{i}.
Logo, T é soma de n variáveis independentes do tipo -2\ln X_{i}.

Passo 3

Para cada i, defina
Y_{i} = -2\ln X_{i}.
Como X_{i}\sim\mathrm{Uniform}(0,1), sua função de distribuição é F_{X_{i}}(x)=x em [0,1]. Calculamos então a CDF de Y_{i}:
F_{Y_{i}}(y) = P(Y_{i}\le y) = P\bigl(-2\ln X_{i}\le y\bigr) = P\bigl(\ln X_{i}\ge -\tfrac{y}{2}\bigr) = P\bigl(X_{i}\ge e^{-y/2}\bigr) = 1 - e^{-y/2},
para y\ge0. Essa é exatamente a CDF de \chi^{2} com 2 graus de liberdade, pois
F_{\chi^{2}_{2}}(y)=1 - e^{-y/2}.
Logo Y_{i}\sim\chi^{2}_{2}.

Passo 4

Como os Y_{1},\dots,Y_{n} são independentes e cada um é \chi^{2}_{2}, a soma
T = \sum_{i=1}^{n}Y_{i}
segue uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade somados, isto é,
T\sim \chi^{2}_{2n}.

Resposta

-2\,n\ln G tem distribuição qui-quadrado com 2n graus de liberdade.

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