Seja ( X, Y, Z\) ) vetor aleatório tendo distribuição admitindo densidade conjunta
\[f(x, y, z)= \begin{cases}\frac{6}{(1+x+y+z)^{4}} & \text { se } x>0, y>0 \text { e } z>0 ; \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Obtenha densidade para (W=X+Y+Z].
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor aleatório (X,Y,Z)\) com densidade conjunta
\[f(x,y,z)= \begin{cases} \displaystyle \frac{6}{\bigl(1+x+y+z\bigr)^{4}},&x>0,\;y>0,\;z>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede a densidade marginal de W=X+Y+Z\]. Para isso, vamos usar a definição de densidade de soma de variáveis contínuas:
\[f_{W}(w) =\iiint_{\{x+y+z=w\}}f(x,y,z)\,\delta(x+y+z-w)\,dx\,dy\,dz\]
que se reduz a uma dupla integral sobre \(\{x>0,y>0,z=w-x-y>0\}.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a integral em x e y, obtemos para w>0: