Seja ( X, Y, Z\) ) vetor aleatório tendo distribuição admitindo densidade conjunta \[f(x, y, z)= \begin{cases}\frac{6}{(1+x+y+z)^{4}} & \text { se } x>0, y>0 \text { e } z>0 ; \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Obtenha densidade para (W=X+Y+Z].

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor aleatório (X,Y,Z)\) com densidade conjunta \[f(x,y,z)= \begin{cases} \displaystyle \frac{6}{\bigl(1+x+y+z\bigr)^{4}},&x>0,\;y>0,\;z>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede a densidade marginal de W=X+Y+Z\]. Para isso, vamos usar a definição de densidade de soma de variáveis contínuas: \[f_{W}(w) =\iiint_{\{x+y+z=w\}}f(x,y,z)\,\delta(x+y+z-w)\,dx\,dy\,dz\] que se reduz a uma dupla integral sobre \(\{x>0,y>0,z=w-x-y>0\}.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a integral em x e y, obtemos para w>0:
f_{W}(w) =\int_{x=0}^{w}\int_{y=0}^{\,w-x} f\bigl(x,y,w-x-y\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Substituindo f\bigl(x,y,w-x-y\bigr)=6/(1+w)^{4}, que é constante em x,y dentro da região, resulta
f_{W}(w) =\frac{6}{(1+w)^{4}} \int_{x=0}^{w}\int_{y=0}^{\,w-x}dy\,dx.

Passo 4

O integral duplo \displaystyle \int_{0}^{w}\int_{0}^{\,w-x}dy\,dx é a área do triângulo de vértices (0,0), (w,0) e (0,w), ou seja,
\int_{0}^{w}(w-x)\,dx =\left[w\,x-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{w} =w^{2}-\tfrac{w^{2}}{2} =\frac{w^{2}}{2}.

Passo 5

Logo, para w>0,
f_{W}(w) =\frac{6}{(1+w)^{4}}\cdot\frac{w^{2}}{2} =\frac{3\,w^{2}}{(1+w)^{4}},
e para w\le0 temos f_{W}(w)=0.

Resposta

f_{W}(w)= \begin{cases} \displaystyle \frac{3\,w^{2}}{(1+w)^{4}},&w>0,\\\\ 0,&w\le0. \end{cases}

Exercícios relacionados