Suponha que x=x(t), y=y(t), t \geqslant 0, seja solução do sistema
\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=3 x+y \\\ \dot{y}=-x+5 y . \end{array}\right.
Calcule a derivada da função dada por C(t)=(x(t))^{2}+(y(t))^{2}, t \geqslant 0. O que se pode concluir a respeito da distância do ponto (x(t), y(t)), t \geqslant 0, à origem? Interprete.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} \dot x = 3x + y,\\\ \dot y = -x + 5y, \end{cases}
e define a função
C(t) = (x(t))^2 + (y(t))^2.
O objetivo é calcular C'(t) e interpretar o comportamento da distância do ponto (x(t),y(t)) até a origem.

Passo 2

Usamos a regra da derivada de soma de quadrados. Como
C(t) = x^2 + y^2,
temos
C'(t) = 2x\,\dot x + 2y\,\dot y.

Passo 3

Substituindo \dot x e \dot y do sistema, obtemos
C'(t) = 2x\,(3x + y) + 2y\,(-x + 5y).

Passo 4

Simplificando a expressão:
C'(t) = 2\bigl(3x^2 + xy - xy + 5y^2\bigr) = 2\bigl(3x^2 + 5y^2\bigr).
Como 3x^2+5y^2\ge0 e só é zero se x=y=0, concluímos que
C'(t)\ge0,
com igualdade apenas na solução trivial.

Passo 5

A quantidade C(t) é justamente o quadrado da distância do ponto (x(t),y(t)) à origem. Como C'(t)\ge0, segue que C(t) é crescente, logo a distância \sqrt{C(t)} também aumenta (estritamente para soluções não-triviais).
Resposta final: a distância de (x(t),y(t)) à origem cresce ao longo do tempo, mostrando que o equilíbrio na origem é repulsivo.

Resposta

C'(t) = 2\bigl(3x(t)^2 + 5y(t)^2\bigr)\ge0.
Logo, o módulo do vetor (x(t),y(t)) é crescente e se afasta da origem conforme t aumenta.

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