Considere o sistema
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução
que satisfaça a condição inicial
;
c) Calcule
, onde
é a solução do ítem b.
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução
c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
que escrevemos em forma matricial como
, com
e
Para resolver precisamos encontrar os autovalores e autovetores de
e montar a solução geral por superposição.]
Passo 2
Calculemos o polinômio característico de
:
As raízes são
Logo
Passo 3
Para cada
resolvemos
. Da primeira linha
vem
. Um autovetor correspondente a
é
Assim
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções elementares:
Passo 5
Impondo
Resolvendo fica
Portanto a solução particular é aquela dada em Passo 4 com esses (C_1,C_2].]
Passo 6
No plano de fase o ponto de equilíbrio
é uma sela, pois
e
.
– A reta gerada por (autovetor de valor próprio negativo) é o ramo estável para
.
– A reta gerada por (autovetor de valor próprio positivo) é o ramo instável, para onde as trajetórias vão à medida que
cresce.
A condição inicial está fora da reta estável, então a trajetória sai do entorno do equilíbrio e, para
grande, aproxima‐se da direção de
, fugindo para o infinito.
– A reta gerada por
– A reta gerada por
A condição inicial
Passo 7
Como a componente associada a
domina para
, a solução cresce exponencialmente na direção de
. Logo
isto é, a trajetória diverge ao infinito na direção do autovetor
.
Resposta
a)
com
b) É uma sela: a trajetória parte de , sai do ponto de equilíbrio e, para
, alinha‐se ao autovetor
.
c) .
b) É uma sela: a trajetória parte de
c)