Considere o sistema \left\{\begin{array}{l}\dot{x}-x-y \\\ \dot{y}=2 x-3 y\end{array}\right.
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução \gamma(t)=(x(t), y(t)) que satisfaça a condição inicial \gamma(0)=\left(\frac{1}{2}, 1\right);
c) Calcule \lim _{t \rightarrow+\infty} \gamma(t), onde \gamma é a solução do ítem b.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
\begin{cases} \dot{x}=x+y,\\\ \dot{y}=2x-3y, \end{cases}
que escrevemos em forma matricial como \dot{\mathbf{u}}=A\mathbf{u}, com \mathbf{u}=(x,y)^T e
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]2 & -3\end{pmatrix}.
Para resolver precisamos encontrar os autovalores e autovetores de A e montar a solução geral por superposição.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[3pt]2 & -3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-3-\lambda)-2 =\lambda^2+2\lambda-5.
As raízes são
\lambda_{1,2} =\frac{-2\pm\sqrt{4+20}}{2} =-1\pm\sqrt{6}.
Logo
\lambda_1=-1+\sqrt{6},\quad \lambda_2=-1-\sqrt{6}.]

Passo 3

Para cada \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0. Da primeira linha
(1-\lambda)x+y=0 vem y=(\lambda-1)x. Um autovetor correspondente a \lambda_i é
v_i=\begin{pmatrix}1\\[3pt]\lambda_i-1\end{pmatrix}.
Assim
v_1=\begin{pmatrix}1\\[3pt]-2+\sqrt{6}\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\[3pt]-2-\sqrt{6}\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções elementares:
\begin{pmatrix}x(t)\\[3pt]y(t)\end{pmatrix} =C_1\,e^{(-1+\sqrt{6})t} \begin{pmatrix}1\\[3pt]-2+\sqrt{6}\end{pmatrix} + C_2\,e^{(-1-\sqrt{6})t} \begin{pmatrix}1\\[3pt]-2-\sqrt{6}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Impondo \mathbf{u}(0)=(x(0),y(0))^T=(\tfrac12,1)^T\) obtemos o sistema \[\begin{cases} C_1+C_2=\tfrac12,\\[3pt] C_1(-2+\sqrt{6})+C_2(-2-\sqrt{6})=1. \end{cases}
Resolvendo fica
C_1=\frac{3+2\sqrt{6}}{12},\quad C_2=\frac{3-2\sqrt{6}}{12}.
Portanto a solução particular é aquela dada em Passo 4 com esses (C_1,C_2].]

Passo 6

No plano de fase o ponto de equilíbrio (0,0) é uma sela, pois \lambda_1>0 e \lambda_2<0.
– A reta gerada por v_2 (autovetor de valor próprio negativo) é o ramo estável para t\to+\infty.
– A reta gerada por v_1 (autovetor de valor próprio positivo) é o ramo instável, para onde as trajetórias vão à medida que t cresce.
A condição inicial (\tfrac12,1) está fora da reta estável, então a trajetória sai do entorno do equilíbrio e, para t grande, aproxima‐se da direção de v_1, fugindo para o infinito.

Passo 7

Como a componente associada a \lambda_1>0 domina para t\to+\infty, a solução cresce exponencialmente na direção de v_1. Logo
\lim_{t\to+\infty}\gamma(t)=\lim_{t\to+\infty}(x(t),y(t))=(+\infty,+\infty),
isto é, a trajetória diverge ao infinito na direção do autovetor v_1.

Resposta

a) \displaystyle (x,y)^T=C_1e^{(-1+\sqrt6)t}\begin{pmatrix}1\\\ -2+\sqrt6\end{pmatrix}+C_2e^{(-1-\sqrt6)t}\begin{pmatrix}1\\\ -2-\sqrt6\end{pmatrix} com
\displaystyle C_1=\frac{3+2\sqrt6}{12},\;C_2=\frac{3-2\sqrt6}{12}.
b) É uma sela: a trajetória parte de \bigl(\tfrac12,1\bigr), sai do ponto de equilíbrio e, para t\to+\infty, alinha‐se ao autovetor v_1.
c) \displaystyle \lim_{t\to+\infty}\gamma(t)=(+\infty,+\infty).

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