Suponha que X e Y são variáveis aleatórias contínuas e independentes. Verifique que se fY é densidade para Y, então, fY também é densidade condicional para Y dado X. Reciprocamente, se fX é densidade para X, então, fX também é densidade condicional para X dado Y. Interprete.

Passo 1

O enunciado considera duas variáveis aleatórias contínuas e independentes X e Y. Queremos mostrar que, sob independência, a densidade marginal de Y, que chamamos de fY, coincide com a densidade condicional de Y dado X. Analogamente, a densidade marginal de X, fX, coincide com a densidade condicional de X dado Y. O conteúdo aqui é a definição de densidade condicional e a propriedade de independência de variáveis.

Passo 2

Lembramos a definição de densidade condicional de Y dado X:
fYmid X(ymid x) = fX,Y(x,y)fX(x),
válida sempre que fX(x)>0.
Pela independência de X e Y temos
fX,Y(x,y)=fX(x),fY(y)
Substituindo na definição de fYmid X
fYmid X(ymid x) = fX(x),fY(y)fX(x) = fY(y)
Assim, fY(y) é também a densidade condicional de Y dado X.

Passo 3

De modo totalmente análogo, a densidade condicional de X dado Y é
fXmid Y(xmid y) = fX,Y(x,y)fY(y) = fX(x),fY(y)fY(y) = fX(x),
sempre que fY(y)>0. Logo, fX(x) é também a densidade condicional de X dado Y.

Passo 4

Note que essa dedução exige apenas cancelar fatores de fX(x) ou fY(y) não nulos. Como marginais e condicionais têm‐se de integrar 1, mantêm‐se as propriedades de densidade.

Passo 5

Interpretação: a independência implica que conhecer o valor de X não altera a distribuição de Y (e vice-versa). Assim o condicional coincide com o marginal.

Resposta

Para variáveis contínuas independentes X e Y vale
fYmid X(ymid x)=fY(y) e fXmid Y(xmid y)=fX(x)
Isto reflete o fato de que, sob independência, saber uma variável não muda a lei da outra.

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