Suponha que
e
são variáveis aleatórias contínuas e independentes. Verifique que se
é densidade para
, então,
também é densidade condicional para
dado
. Reciprocamente, se
é densidade para
, então,
também é densidade condicional para
dado
. Interprete.
Passo 1
O enunciado considera duas variáveis aleatórias contínuas e independentes
e
. Queremos mostrar que, sob independência, a densidade marginal de
, que chamamos de
, coincide com a densidade condicional de
dado
. Analogamente, a densidade marginal de
,
, coincide com a densidade condicional de
dado
. O conteúdo aqui é a definição de densidade condicional e a propriedade de independência de variáveis.
Passo 2
Lembramos a definição de densidade condicional de
dado
:
válida sempre que
.
Pela independência de
e
temos
Substituindo na definição de
dá
Assim,
é também a densidade condicional de
dado
.
Passo 3
De modo totalmente análogo, a densidade condicional de
dado
é
sempre que
. Logo,
é também a densidade condicional de
dado
.
Passo 4
Note que essa dedução exige apenas cancelar fatores de
ou
não nulos. Como marginais e condicionais têm‐se de integrar 1, mantêm‐se as propriedades de densidade.
Passo 5
Interpretação: a independência implica que conhecer o valor de
não altera a distribuição de
(e vice-versa). Assim o condicional coincide com o marginal.
Resposta
Para variáveis contínuas independentes
e
vale
Isto reflete o fato de que, sob independência, saber uma variável não muda a lei da outra.