(Barry James) Suponha que os tempos que dois estudantes demoram para resolver um problema sejam independentes e exponenciais com mesmo parâmetro lambda>0. Calcule a probabilidade do primeiro estudante demorar pelo menos o dobro do tempo do segundo para resolver o problema.

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são tempos indepêndentes com distribuição exponencial de parâmetro lambda>0. Queremos
Pl(X >= 2Yr)
O que vamos usar é a definição de probabilidade pela densidade conjunta e a independência, ou então a fórmula de probabilidade condicional.

Passo 2

Usando condicional em Y, escrevemos
P(X >= 2Y) ;=; integral0^infty Pl(X >= 2y mid Y=yr),fY(y),dy
Como X é Exp(lambda), temos
Pl(X >= 2yr) = e^-lambda,(2y),
e a densidade de Y é
fY(y)=lambda,e^-lambda y, y>=0

Passo 3

Substituindo na integral:
P(X >= 2Y) =integral0^infty e^-2lambda y,l(lambda e^-lambda yr),dy =lambdaintegral0^infty e^-3lambda y,dy

Passo 4

Calculando a integral:
lambdaintegral0^infty e^-3lambda y,dy =lambdacdot13lambda =13

Resposta

A probabilidade pedida é tfrac13.

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