Suponha y=\sqrt{2}. Se d y / d t=5, determine o valor pedido.
Passo 1
O enunciado nos dá duas informações escritas:
\;y=\sqrt{2}.
\displaystyle \frac{dy}{dt}=5.
O enunciado pede “determine o valor pedido”, mas não especifica exatamente qual valor é pedido — por isso é importante identificar o que cada dado significa e se eles são compatíveis entre si.
Passo 2
Vamos lembrar o significado de \displaystyle \frac{dy}{dt} e uma propriedade básica de derivadas: \displaystyle \frac{dy}{dt} é a taxa de variação de y em relação a t. Se y é uma função constante de t, ou seja, se para todo t vale y(t)=c com c constante, então a derivada é zero. Vou provar isso com a definição limite de derivada.
Definição (forma prática): a derivada de y em relação a t no ponto t é
\frac{dy}{dt}=\lim_{h\to 0}\frac{y(t+h)-y(t)}{h}.
Se y(t)=c para todo t, então y(t+h)=c e y(t)=c. Substituindo:
Portanto: qualquer função que seja constante tem derivada nula.
Exemplo concreto e intuitivo: se a altura de uma planta é sempre 2 cm (não cresce nem decresce), a taxa de crescimento é 0 cm/s. Aqui é a mesma ideia com números.
Passo 3
Aplique isso ao nosso caso: se a igualdade \;y=\sqrt{2} significa que y é a função constante igual a \sqrt{2} para todo t (isto é, y(t)\equiv\sqrt{2}), então pela propriedade acima
\frac{dy}{dt}=0.
Isso entra em contradição direta com a segunda informação dada, que afirma \displaystyle \frac{dy}{dt}=5. Logo, as duas afirmações não podem ser verdadeiras simultaneamente se interpretarmos \;y=\sqrt{2} como identidade para todo t.
Passo 4
Há outra interpretação possível do enunciado que torna as informações compatíveis: pode ser que o enunciado queira dizer apenas que, em um instante específico t_0, o valor de y é \sqrt{2}, isto é, y(t_0)=\sqrt{2}, e que naquele mesmo instante a derivada vale 5, ou seja, \displaystyle \frac{dy}{dt}\Big|_{t=t_0}=5. Nada impede isso: uma função pode ter valor \sqrt{2} em um instante e ainda estar mudando naquele instante com taxa 5.
Resumo das duas interpretações possíveis:
Interpretação A (mais literal): y(t)\equiv\sqrt{2} para todo t. Então \displaystyle \frac{dy}{dt}=0 — portanto a informação \frac{dy}{dt}=5 é incompatível.
Interpretação B (mais fraca): apenas em algum instante t_0 tem-se y(t_0)=\sqrt{2}, e a derivada naquele instante é \displaystyle \frac{dy}{dt}(t_0)=5. Nesse caso não há contradição e o valor da derivada naquele instante é 5.
Resposta
Se y(t)\equiv\sqrt{2} para todo t: \displaystyle \frac{dy}{dt}=0 (contradição com 5).
Se a igualdade y=\sqrt{2} vale apenas em um instante t_0 e foi dado \displaystyle \frac{dy}{dt}(t_0)=5: então \displaystyle \frac{dy}{dt}(t_0)=5.