Suponhamos que uma fábrica de aparelhos de ar condicionado fabrique três modelos diferentes, o de luxo, o padrão e o econômico. O modelo de luxo pode ser montado em 1,5 hora, o padrão em 1 hora e o econômico em 0,75 hora. A área de montagem da fábrica tem disponibilidade de 800 horas de pessoal próprio por semana.
  1. Se a demanda por modelos de luxo, padrão e econômico estiver na proporção 2:3:2.
  2. Se a demanda por modelo de luxo, padrão e econômico mudar para 1:2:4.
Responda as questões abaixo para o item 1 e 2 .
a) Qual o tempo necessário para montar essa sequência?
b) Qual o número de unidades produzidas por semana?

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
Informações fornecidas:
  • Tem três modelos: luxo, padrão e econômico.
  • Tempos de montagem por unidade:
    • luxo: 1{,}5 horas por unidade;
    • padrão: 1 hora por unidade;
    • econômico: 0{,}75 horas por unidade.
  • Disponibilidade da área de montagem: 800 horas por semana.
  • São dois cenários de demanda (proporções entre os modelos):
    1. Proporção \,2:3:2.
    2. Proporção \,1:2:4.
O que o enunciado pede, para cada cenário (1 e 2):
a) Qual o tempo necessário para montar “essa sequência” (ou seja, o tempo total para montar um bloco com a quantidade de unidades dada pela proporção)?
b) Qual o número de unidades produzidas por semana, mantendo essa sequência/proporção?
Vou assumir que “sequência” significa um bloco contendo as quantidades indicadas pela proporção (por exemplo, para 2:3:2 um bloco tem 2 luxo, 3 padrão e 2 econômico). Em seguida calculo o tempo desse bloco e quantos desses blocos cabem em 800 horas; a partir disso obtenho quantas unidades de cada tipo saem por semana.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadinho):
  • Se a sequência tem, por exemplo, n_L unidades de luxo, n_P de padrão e n_E de econômico, e os tempos por unidade são t_L, t_P, t_E, então o tempo para montar um bloco/ sequência é dado por
T_{\text{seq}} = n_L t_L + n_P t_P + n_E t_E.
Explicando: multiplica-se a quantidade de cada tipo pelo tempo que cada unidade desse tipo demora, e soma-se tudo — isso dá o tempo total para montar todas as unidades daquele bloco.
  • O número de sequências que cabem em 800 horas (permitindo fração de sequência, isto é, pensando em taxa contínua) é
N_{\text{seq}} = \frac{800}{T_{\text{seq}}}.
  • O número de unidades de cada tipo por semana (na proporção exata) é
\text{unidades do tipo} = N_{\text{seq}} \times (\text{quantidade do tipo por sequência}).ê
  • Observação prática: se for necessário ter unidades inteiras e produzir apenas sequências inteiras, toma-se a parte inteira (floor) de N_{\text{seq}}: \lfloor N_{\text{seq}}\rfloor. Vou apresentar ambos: o resultado exato (proporção mantida, números possivelmente fracionários) e o resultado quando se exige apenas sequências inteiras.

Passo 3

Cenário 1: proporção \,2:3:2.
  1. Calcular o tempo de uma sequência:
T_{\text{seq}} = 2\cdot 1{,}5 + 3\cdot 1 + 2\cdot 0{,}75.
Calculemos passo a passo:
2\cdot 1{,}5 = 3,\qquad 3\cdot 1 = 3,\qquad 2\cdot 0{,}75 = 1{,}5.
Somando:
T_{\text{seq}} = 3 + 3 + 1{,}5 = 7{,}5\\ \text{horas}.
  1. Quantas sequências cabem em 800 horas (exato, permitindo frações de sequência):
N_{\text{seq}} = \frac{800}{7{,}5}.
É mais confortável usar fração: 7{,}5 = \dfrac{15}{2}, então
N_{\text{seq}} = 800 \div \frac{15}{2} = 800\cdot\frac{2}{15} = \frac{1600}{15} = \frac{320}{3} = 106\frac{2}{3}.
  1. Número de unidades por tipo por semana (proporção exata):
  • luxo:
N_L = N_{\text{seq}}\cdot 2 = \frac{320}{3}\cdot 2 = \frac{640}{3} = 213\frac{1}{3}.
  • padrão:
N_P = N_{\text{seq}}\cdot 3 = \frac{320}{3}\cdot 3 = 320.
  • econômico:
N_E = N_{\text{seq}}\cdot 2 = \frac{640}{3} = 213\frac{1}{3}.
Total de unidades por semana:
N_{\text{total}} = N_{\text{seq}}\cdot 7 = \frac{320}{3}\cdot 7 = \frac{2240}{3} = 746\frac{2}{3}.
  1. Caso prático — só sequências inteiras:
\lfloor N_{\text{seq}}\rfloor = \lfloor 106\frac{2}{3}\rfloor = 106\\ \text{sequências inteiras}.ê
Com 106 sequências inteiras:
  • tempo usado: 106\cdot 7{,}5 = 795 horas (cabe dentro de 800);
  • unidades: luxo =106\cdot 2 = 212, padrão =106\cdot 3 = 318, econômico =106\cdot 2 = 212;
  • total =742 unidades por semana.
    (Resta tempo livre 800-795=5 horas que poderia ser usado para montar unidades adicionais fora da sequência, se permitido.)

Passo 4

Cenário 2: proporção \,1:2:4.
  1. Calcular o tempo de uma sequência:
T_{\text{seq}} = 1\cdot 1{,}5 + 2\cdot 1 + 4\cdot 0{,}75.
Calculemos passo a passo:
1\cdot 1{,}5 = 1{,}5,\qquad 2\cdot 1 = 2,\qquad 4\cdot 0{,}75 = 3.
Somando:
T_{\text{seq}} = 1{,}5 + 2 + 3 = 6{,}5\\ \text{horas}.
  1. Quantas sequências cabem em 800 horas (exato, permitindo frações):
    Escrevendo 6{,}5 = \dfrac{13}{2},
N_{\text{seq}} = 800 \div \frac{13}{2} = 800\cdot\frac{2}{13} = \frac{1600}{13}.
Em número misto:
N_{\text{seq}} = 123\frac{1}{13}\\ (\text{aprox. }123{,}0769\ldots).
  1. Número de unidades por tipo por semana (proporção exata):
  • luxo:
N_L = N_{\text{seq}}\cdot 1 = \frac{1600}{13} = 123\frac{1}{13}.
  • padrão:
N_P = N_{\text{seq}}\cdot 2 = \frac{3200}{13} = 246\frac{2}{13}.
  • econômico:
N_E = N_{\text{seq}}\cdot 4 = \frac{6400}{13} = 492\frac{4}{13}.
Total de unidades por semana:
N_{\text{total}} = N_{\text{seq}}\cdot 7 = \frac{11200}{13} = 861\frac{7}{13}\\ (\text{aprox. }861{,}538\ldots).
  1. Caso prático — só sequências inteiras:
\lfloor N_{\text{seq}}\rfloor = \lfloor 123\frac{1}{13}\rfloor = 123\\ \text{sequências inteiras}.ê
Com 123 sequências inteiras:
  • tempo usado: 123\cdot 6{,}5 = 799{,}5 horas;
  • unidades: luxo =123\cdot 1 = 123, padrão =123\cdot 2 = 246, econômico =123\cdot 4 = 492;
  • total =861 unidades por semana.
    (Sobra 0{,}5 hora livre.)

Resposta

1a) T_{\text{seq}} = 7{,}5 horas.
1b) Mantendo a proporção (valores exatos): luxo \dfrac{640}{3}=213\frac{1}{3}, padrão 320, econômico \dfrac{640}{3}=213\frac{1}{3}; total \dfrac{2240}{3}=746\frac{2}{3} unidades por semana. Máximo de sequências inteiras: 106 sequências → luxo 212, padrão 318, econômico 212; total 742 unidades.
2a) T_{\text{seq}} = 6{,}5 horas.
2b) Mantendo a proporção (valores exatos): luxo \dfrac{1600}{13}=123\frac{1}{13}, padrão \dfrac{3200}{13}=246\frac{2}{13}, econômico \dfrac{6400}{13}=492\frac{4}{13}; total \dfrac{11200}{13}=861\frac{7}{13} unidades por semana. Máximo de sequências inteiras: 123 sequências → luxo 123, padrão 246, econômico 492; total 861 unidades.

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