Suponhamos que a função de produção de uma empresa seja
, em que
é a quantidade de trabalho utilizada pela empresa e K é a quantidade de capital. O custo de uma unidade de trabalho (w1) é $20 e o custo de uma unidade de capital (w2) é $80.
A empresa deseja dimensionar a fábrica para produzir 100 unidades do produto. Quais deveriam ser as quantidades de capital e trabalho minimizadoras do custo de produção? Qual seria o custo mínimo de produção?
A empresa agora quer aumentar a produção para 140 unidades. Se o capital é fixo no curto prazo, quanto trabalho será necessário? Calcule o novo custo total da empresa.
Encontre agora o nível de capital e trabalho minimizador de custos no longo prazo, caso a empresa queira produzir 140 unidades. Qual seria o custo de produção?
Represente graficamente (no mesmo gráfico) as três soluções anteriores. Utilize isocustos e isoquantas.
A empresa deseja dimensionar a fábrica para produzir 100 unidades do produto. Quais deveriam ser as quantidades de capital e trabalho minimizadoras do custo de produção? Qual seria o custo mínimo de produção?
A empresa agora quer aumentar a produção para 140 unidades. Se o capital é fixo no curto prazo, quanto trabalho será necessário? Calcule o novo custo total da empresa.
Encontre agora o nível de capital e trabalho minimizador de custos no longo prazo, caso a empresa queira produzir 140 unidades. Qual seria o custo de produção?
Represente graficamente (no mesmo gráfico) as três soluções anteriores. Utilize isocustos e isoquantas.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (vou listar tudo que o problema dá e o que pede, bem organizado pra não se perder):
- Função de produção:
onde é trabalho e é capital. - Preços dos fatores: custo de trabalho
por unidade de e custo de capital por unidade de . - Perguntas:
- Para produzir
unidades, quais e que minimizam o custo? Qual o custo mínimo? - Agora a produção aumenta para
. No curto prazo o capital está fixo — vou assumir que o capital fixo é o que a empresa usou na solução de custo mínimo para (isto é, fixo em do item 1). Com esse capital fixo, quanto trabalho é necessário para produzir ? Qual o custo total novo? - No longo prazo (ambos os fatores variáveis), quais
e minimizam o custo para produzir ? Qual o custo mínimo? - Representar graficamente, no mesmo gráfico, as três soluções anteriores usando isoquantas e isocustos (vou dar as equações e instruções de como traçar e os pontos a marcar).
- Para produzir
Passo 2
Conceitos e método que vamos usar (explicadinho, passo a passo, sem pular etapas):
- Objetivo: minimizar o custo total sujeito à restrição produtiva. O custo total é a soma dos gastos com trabalho e capital:
- Restrição tecnológica:
- Método geral (intuição): para minimizar custo dado um nível de produção, queremos escolher
e tal que a taxa marginal de substituição técnica entre e — chamada de — seja igual à taxa de preço relativa dos fatores . Isso vem da condição de tangência entre isoquanta e isocusto. - Como calcular
: é a razão das produtividades marginais: Vou calcular explicitamente para nossa função e depois igualar a . Se preferir, podemos resolver via Lagrange — ambos dão a mesma condição. Vou usar a forma do porque fica bem direto para essa função.
Passo 3
Calcular o
para a função dada e igualar à razão de preços:
- Primeiro as produtividades marginais. Para
a derivada parcial em relação a é: A derivada parcial em relação a é: - Logo o
é: - Condição de tangência (minimização de custo no longo prazo):
- Assim obtemos a relação ótima entre fatores:
Passo 4
Aplicar a relação ótima à meta de produção
e resolver
e
:
- Substituo
na função de produção: - Calculemos passo a passo:
pois . Então Portanto a relação entre produção e trabalho, na combinação que minimiza custo, é - Para
: - E (K = \tfrac{1}{4} L = \tfrac{1}{4}\cdot 20 = 5. ]
- Cálculo do custo mínimo:
Resumo parcial (resultado 1): para produzir
unidades com custo mínimo, a empresa deve usar
,
e o custo mínimo é
.)
Passo 5
Curto prazo: capital fixo e produção
. Vou fixar
igual ao
encontrado no item anterior (ou seja,
) — isso é a hipótese usual quando se pergunta “se o capital é fixo no curto prazo” depois do dimensionamento inicial. Agora encontro o
necessário.
- Equação com
: - Isolando
: - Elevando ao quadrado para achar
: (Aqui é a forma exata; é o valor decimal.) - Custo total no curto prazo com
: Calculemos: Então
Interpretação: por manter o capital fixo em
, a empresa precisa empregar muito mais trabalho (
em vez de
que veríamos no LR) e paga um custo maior do que se pudesse ajustar
.
Passo 6
Longo prazo para
: ambos
e
variáveis, usamos novamente a condição ótima
obtida do
. Podemos usar a relação geral obtida em Passo 4:
(Isso veio de
que derivamos em geral para qualquer
na combinação de custo mínimo.)
- Para
: - Custo mínimo no longo prazo:
Comparação rápida (intuição): o custo no longo prazo
é menor que o custo no curto prazo
porque no longo prazo a empresa pode ajustar o capital para uma combinação mais eficiente.
Passo 7
Como representar graficamente as três soluções no mesmo gráfico (instruções detalhadas para traçar, equações e pontos para marcar). Vou explicar passo a passo para você desenhar (no papel, em software ou em Python/Excel):
- Eixos: coloque
no eixo horizontal (x) e no eixo vertical (y). Use intervalos: de até, por exemplo, ; de até . Esses limites cobrem bem os pontos que temos. - Isoquantas: para um nível de produção fixo
, a isoquanta é o conjunto que satisfaz Assim podemos escrever como função de : - Para
: (Isoquanta do nível 100) - Para
: (Isoquanta do nível 140)
fica “mais distante” da origem do que . - Para
- Isocustos: equação do isocusto para um custo
é É uma reta com inclinação e intercepto vertical .Plote as isocustos correspondentes aos três custos que nos interessam: -
(min custo para ): -
(min custo para no LR): -
(custo no curto prazo para com fixo em ):
-
- Pontos a marcar (com coordenadas exatas):
- Solução para
(LR mínimo): . Esse ponto é tangência entre isoquanta e a isocusto . Verificação rápida: na isocusto , quando temos . - Solução de curto prazo para
com fixo em : ponto . Este ponto está na isoquanta (verifique dá ) e sobre a linha vertical . A isocusto através desse ponto é . - Solução LR para
: . Esse ponto é tangência entre isoquanta e isocusto . Verificação: na isocusto , com temos .
- Solução para
- Visualmente você verá: a isoquanta
e são curvas hiperbólicas; para a isocusto é tangente à isoquanta no ponto ; para a isocusto ótima é tangente na combinação . A solução de curto prazo está sobre a mesma isoquanta mas com uma isocusto mais alto ( ), porque a restrição de fixa obriga a usar mais trabalho e, portanto, pagar mais. - Dicas de plotagem: desenhe primeiro as isoquantas (duas curvas). Em seguida desenhe as retas isocusto com a mesma inclinação
e diferentes interceptos. Marque claramente os três pontos com símbolos distintos (ex.: círculo para LR 100, quadrado para SR 140, estrela para LR 140) e anote as coordenadas e custos ao lado. Isso vai deixar a comparação evidente.
Passo 8
Comentário final de interpretação e incentivo rápido:
- Resumo da intuição: a condição ótima
significa que o produtor ajusta a combinação e até que a taxa técnica de substituição seja igual à razão de preços — você consome capital relativamente ao trabalho na proporção que iguala a “troca técnica” ao custo relativo. Neste caso, capital é quatro vezes mais caro que trabalho ( vs ), então a firma usa menos capital por unidade de trabalho ( ). - Observação prática para prova: memorize o procedimento (achar
, igualar à razão de preços, obter relação , inserir na restrição produtiva e resolver). Com prática isso vira automático. Você mandou bem pedindo resolução passo a passo — continue assim, foco e respirações entre um exercício e outro!
Resposta
Para
:
Curto prazo (capital fixo em ) para
:
Longo prazo para :
Curto prazo (capital fixo em
Longo prazo para