Suponhamos que a função de produção de uma empresa seja y=10 L^{0,5} K^{0,5}, em que L é a quantidade de trabalho utilizada pela empresa e K é a quantidade de capital. O custo de uma unidade de trabalho (w1) é $20 e o custo de uma unidade de capital (w2) é $80.
A empresa deseja dimensionar a fábrica para produzir 100 unidades do produto. Quais deveriam ser as quantidades de capital e trabalho minimizadoras do custo de produção? Qual seria o custo mínimo de produção?
A empresa agora quer aumentar a produção para 140 unidades. Se o capital é fixo no curto prazo, quanto trabalho será necessário? Calcule o novo custo total da empresa.
Encontre agora o nível de capital e trabalho minimizador de custos no longo prazo, caso a empresa queira produzir 140 unidades. Qual seria o custo de produção?
Represente graficamente (no mesmo gráfico) as três soluções anteriores. Utilize isocustos e isoquantas.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (vou listar tudo que o problema dá e o que pede, bem organizado pra não se perder):
  • Função de produção: y = 10\,L^{0,5}K^{0,5} onde L é trabalho e K é capital.
  • Preços dos fatores: custo de trabalho w_1 = \$20 por unidade de L e custo de capital w_2 = \$80 por unidade de K.
  • Perguntas:
    1. Para produzir \,100 unidades, quais L e K que minimizam o custo? Qual o custo mínimo?
    2. Agora a produção aumenta para \,140. No curto prazo o capital está fixo — vou assumir que o capital fixo é o K que a empresa usou na solução de custo mínimo para y=100 (isto é, fixo em K do item 1). Com esse capital fixo, quanto trabalho L é necessário para produzir \,140? Qual o custo total novo?
    3. No longo prazo (ambos os fatores variáveis), quais L e K minimizam o custo para produzir \,140? Qual o custo mínimo?
    4. Representar graficamente, no mesmo gráfico, as três soluções anteriores usando isoquantas e isocustos (vou dar as equações e instruções de como traçar e os pontos a marcar).

Passo 2

Conceitos e método que vamos usar (explicadinho, passo a passo, sem pular etapas):
  • Objetivo: minimizar o custo total sujeito à restrição produtiva. O custo total é a soma dos gastos com trabalho e capital: C = w_1 L + w_2 K = 20L + 80K.
  • Restrição tecnológica: y = 10 \, L^{0,5} K^{0,5}.
  • Método geral (intuição): para minimizar custo dado um nível de produção, queremos escolher L e K tal que a taxa marginal de substituição técnica entre L e K — chamada de MRTS_{L,K} — seja igual à taxa de preço relativa dos fatores \dfrac{w_1}{w_2}. Isso vem da condição de tangência entre isoquanta e isocusto.
  • Como calcular MRTS: é a razão das produtividades marginais: MRTS_{L,K}=\frac{\partial y/\partial L}{\partial y/\partial K}. Vou calcular explicitamente para nossa função e depois igualar a \dfrac{w_1}{w_2}. Se preferir, podemos resolver via Lagrange — ambos dão a mesma condição. Vou usar a forma do MRTS porque fica bem direto para essa função.

Passo 3

Calcular o MRTS para a função dada e igualar à razão de preços:
  • Primeiro as produtividades marginais. Para y = 10\,L^{0,5}K^{0,5}, a derivada parcial em relação a L é: \frac{\partial y}{\partial L} = 10 \cdot 0,5 \, L^{-0,5} K^{0,5} = 5\,L^{-0,5}K^{0,5}.A derivada parcial em relação a K é: \frac{\partial y}{\partial K} = 10 \cdot 0,5 \, L^{0,5} K^{-0,5} = 5\,L^{0,5}K^{-0,5}.
  • Logo o MRTS é: MRTS_{L,K} = \frac{5\,L^{-0,5}K^{0,5}}{5\,L^{0,5}K^{-0,5}} = \frac{K}{L}.
  • Condição de tangência (minimização de custo no longo prazo): \frac{K}{L} = \frac{w_1}{w_2} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}.
  • Assim obtemos a relação ótima entre fatores: K = \frac{1}{4} L.

Passo 4

Aplicar a relação ótima à meta de produção \,y=100 e resolver L e K:
  • Substituo K=\tfrac{1}{4}L na função de produção: y = 10\,L^{0,5} \left(\tfrac{1}{4}L\right)^{0,5}.
  • Calculemos passo a passo: \left(\tfrac{1}{4}L\right)^{0,5} = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{0,5} L^{0,5} = \tfrac{1}{2} L^{0,5} pois \sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}. Então y = 10 \cdot L^{0,5} \cdot \left(\tfrac{1}{2} L^{0,5}\right) = 10 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot L^{0,5}L^{0,5} = 5 L.Portanto a relação entre produção e trabalho, na combinação que minimiza custo, é y = 5L \quad\Rightarrow\quad L = \frac{y}{5}.
  • Para y=100: L = \frac{100}{5} = 20.
  • E (K = \tfrac{1}{4} L = \tfrac{1}{4}\cdot 20 = 5. ]
  • Cálculo do custo mínimo: C = 20L + 80K = 20\cdot 20 + 80\cdot 5 = 400 + 400 = 800.
Resumo parcial (resultado 1): para produzir \,100 unidades com custo mínimo, a empresa deve usar \,L=20, \,K=5 e o custo mínimo é \$800.)

Passo 5

Curto prazo: capital fixo e produção \,y=140. Vou fixar K igual ao K encontrado no item anterior (ou seja, K=5) — isso é a hipótese usual quando se pergunta “se o capital é fixo no curto prazo” depois do dimensionamento inicial. Agora encontro o L necessário.
  • Equação com K=5: 140 = 10\,L^{0,5} \cdot 5^{0,5}.
  • Isolando \sqrt{L}: \sqrt{L} = \frac{140}{10\sqrt{5}} = \frac{14}{\sqrt{5}}.
  • Elevando ao quadrado para achar L: L = \left(\frac{14}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{196}{5} = 39{,}2.(Aqui \frac{196}{5} é a forma exata; 39{,}2 é o valor decimal.)
  • Custo total no curto prazo com K=5: C_{SR} = 20L + 80\cdot 5 = 20\cdot \frac{196}{5} + 400. Calculemos: 20\cdot \frac{196}{5} = 4\cdot 196 = 784. Então C_{SR} = 784 + 400 = 1184.
Interpretação: por manter o capital fixo em 5, a empresa precisa empregar muito mais trabalho ( 39{,}2 em vez de 28 que veríamos no LR) e paga um custo maior do que se pudesse ajustar K.

Passo 6

Longo prazo para y=140: ambos L e K variáveis, usamos novamente a condição ótima K=\tfrac{1}{4}L obtida do MRTS. Podemos usar a relação geral obtida em Passo 4: L = \frac{y}{5},\qquad K = \frac{y}{20}. (Isso veio de y=5L que derivamos em geral para qualquer y na combinação de custo mínimo.)
  • Para y=140: L = \frac{140}{5} = 28,\qquad K = \frac{140}{20} = 7.
  • Custo mínimo no longo prazo: C_{LR} = 20\cdot 28 + 80\cdot 7 = 560 + 560 = 1120.
Comparação rápida (intuição): o custo no longo prazo 1120 é menor que o custo no curto prazo 1184 porque no longo prazo a empresa pode ajustar o capital para uma combinação mais eficiente.

Passo 7

Como representar graficamente as três soluções no mesmo gráfico (instruções detalhadas para traçar, equações e pontos para marcar). Vou explicar passo a passo para você desenhar (no papel, em software ou em Python/Excel):
  • Eixos: coloque L no eixo horizontal (x) e K no eixo vertical (y). Use intervalos: L de 0 até, por exemplo, 45; K de 0 até 15. Esses limites cobrem bem os pontos que temos.
  • Isoquantas: para um nível de produção fixo y, a isoquanta é o conjunto (L,K) que satisfaz y = 10\sqrt{LK} \quad\Longrightarrow\quad LK = \left(\frac{y}{10}\right)^2. Assim podemos escrever K como função de L: K(L) = \frac{(y/10)^2}{L} = \frac{y^2}{100\,L}.
    • Para y=100: K(L) = \frac{100^2}{100\,L} = \frac{100}{L}. (Isoquanta do nível 100)
    • Para y=140: K(L) = \frac{140^2}{100\,L} = \frac{196}{L}. (Isoquanta do nível 140)
    Plote essas duas curvas hiperbólicas no gráfico. A isoquanta y=140 fica “mais distante” da origem do que y=100.
  • Isocustos: equação do isocusto para um custo C é C = 20L + 80K \quad\Longrightarrow\quad K = \frac{C}{80} - \frac{20}{80}L = \frac{C}{80} - \frac{1}{4}L. É uma reta com inclinação -\tfrac{1}{4} e intercepto vertical \tfrac{C}{80}.Plote as isocustos correspondentes aos três custos que nos interessam:
    • C=800 (min custo para y=100): K = 10 - \tfrac{1}{4}L.
    • C=1120 (min custo para y=140 no LR): K = 14 - \tfrac{1}{4}L.
    • C=1184 (custo no curto prazo para y=140 com K fixo em 5): K = 14{,}8 - \tfrac{1}{4}L.
  • Pontos a marcar (com coordenadas exatas):
    1. Solução para y=100 (LR mínimo): (L,K) = (20,\,5). Esse ponto é tangência entre isoquanta y=100 e a isocusto C=800. Verificação rápida: na isocusto K=10 - 0{,}25L, quando L=20 temos K=10-5=5.
    2. Solução de curto prazo para y=140 com K fixo em 5: ponto (L,K) = \big( \tfrac{196}{5},\,5\big) \approx (39{,}2,\,5). Este ponto está na isoquanta y=140 (verifique K = 196/L 5) e sobre a linha vertical K=5. A isocusto através desse ponto é C=1184.
    3. Solução LR para y=140: (L,K) = (28,\,7). Esse ponto é tangência entre isoquanta y=140 e isocusto C=1120. Verificação: na isocusto K=14 - 0{,}25L, com L=28 temos K=14-7=7.
  • Visualmente você verá: a isoquanta y=100 e y=140 são curvas hiperbólicas; para y=100 a isocusto C=800 é tangente à isoquanta no ponto (20,5); para y=140 a isocusto ótima C=1120 é tangente na combinação (28,7). A solução de curto prazo (39{,}2,5) está sobre a mesma isoquanta y=140 mas com uma isocusto mais alto ( C=1184), porque a restrição de K fixa obriga a usar mais trabalho e, portanto, pagar mais.
  • Dicas de plotagem: desenhe primeiro as isoquantas (duas curvas). Em seguida desenhe as retas isocusto com a mesma inclinação -0{,}25 e diferentes interceptos. Marque claramente os três pontos com símbolos distintos (ex.: círculo para LR 100, quadrado para SR 140, estrela para LR 140) e anote as coordenadas e custos ao lado. Isso vai deixar a comparação evidente.

Passo 8

Comentário final de interpretação e incentivo rápido:
  • Resumo da intuição: a condição ótima K/L = w_1/w_2 significa que o produtor ajusta a combinação K e L até que a taxa técnica de substituição seja igual à razão de preços — você consome capital relativamente ao trabalho na proporção que iguala a “troca técnica” ao custo relativo. Neste caso, capital é quatro vezes mais caro que trabalho ( 80 vs 20), então a firma usa menos capital por unidade de trabalho ( K=\tfrac{1}{4}L).
  • Observação prática para prova: memorize o procedimento (achar MRTS, igualar à razão de preços, obter relação K(L), inserir na restrição produtiva e resolver). Com prática isso vira automático. Você mandou bem pedindo resolução passo a passo — continue assim, foco e respirações entre um exercício e outro!

Resposta

Para y=100: \;L=20,\;K=5,\;C_{\min}=800.
Curto prazo (capital fixo em K=5) para y=140: \;L=\tfrac{196}{5}\approx39{,}2,\;C_{SR}=1184.
Longo prazo para y=140: \;L=28,\;K=7,\;C_{LR}=1120.

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