Defina custo variável (CV), custo fixo (CF), custo marginal (Cmg), custo variável médio (CVme), custo fixo médio (CFme) e custo total médio (CTme). Qual a diferença entre custo marginal, custo total médio e custo variável médio? Como são calculados esses custos?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Definir os termos: custo variável (CV), custo fixo (CF), custo marginal (Cmg), custo variável médio (CVme), custo fixo médio (CFme) e custo total médio (CTme).
  • Explicar a diferença entre custo marginal, custo total médio e custo variável médio.
  • Explicar como cada um desses custos é calculado.
Informações relevantes (o que vou usar para responder):
  • Todos os conceitos são funções de produção/quantidade produzida, que chamaremos de q (quantidade, unidades produzidas).
  • Há dois tipos básicos de custo: os que não mudam com q (fixos) e os que mudam com q (variáveis). O custo total é a soma dos dois.
  • O custo marginal pode ser tratado de duas maneiras: (i) versão discreta (variação ao aumentar uma unidade) e (ii) versão contínua (derivada). Vou mostrar ambas.

Passo 2

Definição e explicação de custo fixo ( CF):
  • O custo fixo é a parte do custo que não depende da quantidade produzida q. Ou seja, mesmo que q=0, o custo fixo existe.
  • Exemplos: aluguel de fábrica, seguro, salários fixos de administração.
  • Em fórmulas: CF é uma constante em relação a q. Não escrevo CF(q) porque não varia com q.
  • Intuição prática: se você fecha a produção por um mês, esses custos continuam — por isso são “fixos”.

Passo 3

Definição e explicação de custo variável ( CV):
  • O custo variável depende da quantidade produzida q. Quanto mais você produz, maior tende a ser CV.
  • Exemplos: matérias-primas, energia usada na produção, horas extras de produção (quando variam com a quantidade).
  • Em fórmulas: escrevemos a função CV como CV(q). Não existe uma forma única — pode ser linear, quadrática, etc., conforme o problema.
  • Intuição prática: aumenta quando você produz mais, pode ter taxas crescentes (ex.: por causa de ineficiências) ou decrescentes (ganhos de escala).

Passo 4

Definição e fórmula do custo total ( CT):
  • O custo total é a soma do custo fixo com o custo variável.
  • Fórmula em bloco:
CT(q)=CF+CV(q)
  • Explicação: para cada q você soma a parte fixa que sempre existe com a parte variável que depende de q.

Passo 5

Definição e cálculo do custo fixo médio ( CFme):
  • O custo fixo médio é o custo fixo dividido pela quantidade produzida; é o “custo fixo por unidade”.
  • Fórmula em bloco:
CFme(q)=\dfrac{CF}{q}
  • Observações importantes:
    • À medida que q aumenta, CFme(q) tende a cair (pois você dilui o fixo em mais unidades).
    • Em prova: cuidado com q=0 — a expressão não está definida para q=0. Normalmente consideramos q>0.

Passo 6

Definição e cálculo do custo variável médio ( CVme):
  • O custo variável médio é o custo variável por unidade produzida.
  • Fórmula em bloco:
CVme(q)=\dfrac{CV(q)}{q}
  • Interpretação: dá uma ideia do custo de variáveis por unidade, útil para comparar tecnologia/produtividade entre diferentes níveis de produção.

Passo 7

Definição e cálculo do custo total médio ( CTme):
  • O custo total médio é o custo total por unidade produzida (também chamado de custo médio).
  • Fórmula em bloco:
CTme(q)=\dfrac{CT(q)}{q}
  • Substituindo CT(q)=CF+CV(q) obtemos a decomposição:
CTme(q)=\dfrac{CF}{q}+\dfrac{CV(q)}{q}
  • Em notação já conhecida:
CTme(q)=CFme(q)+CVme(q)
  • Interpretação: é o custo unitário total; muito usado para decidir preço mínimo em competição perfeita, análise de lucro, etc.

Passo 8

Definição, interpretação e cálculo do custo marginal ( Cmg):
  • Intuição: custo marginal é o custo adicional de produzir uma unidade a mais. É a “inclinação” do custo total em relação à quantidade.
  • Duas formas de calcular:
    1. Forma discreta (útil quando se trabalha com unidades inteiras): diferença entre produzir q+1 e q:
    Cmg\_{discreto}(q)=CT(q+1)-CT(q)
    1. Forma contínua (quando temos função diferenciável): derivada do custo total em relação a q:
    Cmg(q)=\dfrac{d\,CT(q)}{dq}
  • Como CF é constante, a derivada de CT é a derivada de CV. Portanto, em cálculo:
Cmg(q)=\dfrac{d\,CV(q)}{dq}
  • Interpretação prática: se você já produz q unidades, Cmg(q) é quanto custaria produzir a unidade q+ \text{(infinitesimal)}. Em provas, muitas vezes se pede Cmg em um certo q — derive e avalie.

Passo 9

Relação e diferença entre Cmg, CTme e CVme — o que cada um mede:
  • Natureza:
    • CTme(q) e CVme(q) são médias (custos por unidade) — dão um nível médio por unidade.
    • Cmg(q) é uma taxa marginal (derivada / diferença) — indica a variação imediata do custo ao produzir uma unidade adicional.
  • Como são calculados:
    • CTme(q)=\dfrac{CT(q)}{q}.
    • CVme(q)=\dfrac{CV(q)}{q}.
    • Cmg(q)=CT'(q)=CV'(q) (ou diferença discreta CT(q+1)-CT(q)).
  • Relação prática (regra importante para provas — quando Cmg compara com médias):
    • Se Cmg(q)<CTme(q) então CTme está decrescendo em q.
    • Se Cmg(q)>CTme(q) então CTme está crescendo em q.
    • Se Cmg(q)=CTme(q) então CTme tem um ponto extremo (normalmente mínimo para funções de custo comuns).
  • Demonstração curta e didática dessa regra (passo a passo):
    • Comece de \;CTme(q)=\dfrac{CT(q)}{q}.
    • Derive em relação a q (usar regra do quociente ou produto):
    \dfrac{d}{dq}CTme(q)=\dfrac{q\cdot CT'(q)-CT(q)}{q^{2}}.
    • Como CT'(q)=Cmg(q) e CT(q)=q\cdot CTme(q), temos:
    \dfrac{d}{dq}CTme(q)=\dfrac{q\cdot Cmg(q)-q\cdot CTme(q)}{q^{2}}=\dfrac{Cmg(q)-CTme(q)}{q}.
    • Portanto o sinal da derivada de CTme (se sobe ou desce) é o sinal de Cmg(q)-CTme(q). Isso prova a regra acima.
  • Observação sobre CVme: a mesma lógica vale para CVme em relação ao Cmg porque Cmg=CV'. Ou seja, comparar Cmg com CVme dá a tendência do CVme.

Passo 10

Exemplo numérico concreto (para fixar): seja CF=100 e CV(q)=2q+0,5q^{2}.
  • Primeiro escrevemos o custo total:
CT(q)=CF+CV(q)=100+2q+0,5q^{2}.
  • Cálculos para q=10:
    • CV(10)=2\cdot 10 + 0,5\cdot 10^{2}=20+0,5\cdot 100=20+50=70.
    • CT(10)=100+70=170.
    • CFme(10)=\dfrac{100}{10}=10.
    • CVme(10)=\dfrac{70}{10}=7.
    • CTme(10)=\dfrac{170}{10}=17.
  • Marginal (derivada) — calcule a derivada de CV:
CV'(q)=2 + 2\cdot 0,5\;q = 2+q.
  • Então Cmg(q)=2+q. Para q=10, Cmg(10)=2+10=12.
  • Interpretação do exemplo:
    • Cmg(10)=12 é menor que CTme(10)=17, então CTme está caindo em q=10 (conforme regra).
    • Se usar forma discreta: CT(11)-CT(10)=182,5-170=12,5 (aqui CV(11)=82,5, CT(11)=182,5), que é a variação ao produzir uma unidade extra; para funções curvilíneas discreta e contínua não coincidem exatamente, mas estão próximas.

Passo 11

Dicas práticas para a prova (curtas e úteis):
  • Se o enunciado der uma função CT(q) ou CV(q): derive para achar Cmg(q); divida por q para achar as médias.
  • Se só der números de custos para níveis inteiros, use a diferença CT(q+1)-CT(q) para Cmg.
  • Sempre verifique domínio: CFme e outras médias não fazem sentido em q=0.
  • Use a regra Cmg vs CTme para identificar mínimo de custo médio rapidamente: resolva Cmg(q)=CTme(q) para achar candidato a mínimo.

Resposta

Custo variável (CV): função CV(q) que depende da quantidade q; representa custos que variam com a produção.
Custo fixo (CF): constante CF que não depende de q; custos que permanecem mesmo com q=0.
Custo total (CT): CT(q)=CF+CV(q).
Custo fixo médio (CFme): CFme(q)=\dfrac{CF}{q}.
Custo variável médio (CVme): CVme(q)=\dfrac{CV(q)}{q}.
Custo total médio (CTme): CTme(q)=\dfrac{CT(q)}{q}=\dfrac{CF}{q}+\dfrac{CV(q)}{q}=CFme(q)+CVme(q).
Custo marginal (Cmg): forma contínua Cmg(q)=\dfrac{d\,CT(q)}{dq}=\dfrac{d\,CV(q)}{dq},
forma discreta Cmg\_{discreto}(q)=CT(q+1)-CT(q).
Diferença entre eles: CTme e CVme são médias (custos por unidade); Cmg é uma taxa marginal (custo da unidade adicional). Regra útil: \dfrac{d}{dq}CTme(q)=\dfrac{Cmg(q)-CTme(q)}{q}, logo se Cmg<CTme então CTme cai; se Cmg>CTme então CTme sobe; se Cmg=CTme então CTme tem ponto extremo (normalmente mínimo).

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