Suponha uma tecnologia de produção representada pela função de produção q=f\left(x_{1}, x_{2}\right)= 10 x_{1}^{0,6} x_{2}^{0,6}. Com base nessa função, pede-se:
a) Calcular as funções de produto marginal para os fatores x 1 e x 2 .
b) Calcular a produção da firma quando \mathrm{x} 1=100 e \mathrm{x} 2=300
c) Calcular a produção da firma quando \mathrm{x} 1=200 \mathrm{e} \mathrm{x} 2=600. Compare com a resposta do item (b). O que ocorreu? Essa tecnologia apresenta retornos crescentes, constantes ou decrescentes de escala? Explique sua resposta.
d) Calcule a taxa marginal de substituição técnica (TMST) entre os fatores de produção. Explique o que essa taxa representa e interprete seu resultado.
e) Prove, a partir do item (a), a existência de rendimentos marginais decrescentes para os fatores de produção.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
q=f(x_{1},x_{2})=10\,x_{1}^{0,6}x_{2}^{0,6}
e pede cinco coisas:
a) calcular as funções de produto marginal para x_{1} e x_{2};
b) calcular a produção quando x_{1}=100 e x_{2}=300;
c) calcular a produção quando x_{1}=200 e x_{2}=600, comparar com (b) e dizer se a tecnologia tem retornos crescentes, constantes ou decrescentes de escala;
d) calcular a taxa marginal de substituição técnica (TMST) entre os fatores, explicar o que ela representa e interpretar o resultado;
e) provar, a partir do item (a), que existem rendimentos marginais decrescentes para os fatores.
Informações relevantes dadas: a função de produção explícita acima e os pontos de avaliação para os itens (b) e (c). Vamos trabalhar assumindo x_{1}>0 e x_{2}>0 (condição padrão para insumos).

Passo 2

Vamos calcular os produtos marginais (paradas didáticas rápidas sobre derivadas): quando temos uma função do tipo x^{a} com constante a, a regra de derivação (regra do poder) diz que
\frac{d}{dx}x^{a}=a\,x^{a-1}.
Aqui q é produto de potências de x_{1} e x_{2}. Para obter o produto marginal de x_{1} (denotado MP_{1}) derivamos q em relação a x_{1}, tratando x_{2} como constante; para MP_{2} derivamos em relação a x_{2}. Aplicando a regra do poder:
Derivada em relação a x_{1}:
\frac{\partial q}{\partial x_{1}} =10\cdot 0,6\; x_{1}^{0,6-1}\; x_{2}^{0,6} =6\; x_{1}^{-0,4}\; x_{2}^{0,6}.
Derivada em relação a x_{2}:
\frac{\partial q}{\partial x_{2}} =10\cdot 0,6\; x_{1}^{0,6}\; x_{2}^{0,6-1} =6\; x_{1}^{0,6}\; x_{2}^{-0,4}.
Comentário prático: MP_{1} mede quanto a produção aumenta (aproximadamente) quando eu aumento um pouco x_{1}, mantendo x_{2} fixo; MP_{2} faz a mesma coisa trocando os papéis.

Passo 3

Calcular q em (x_{1},x_{2})=(100,300).
Começo simplificando a expressão:
q(100,300)=10\cdot 100^{0,6}\cdot 300^{0,6} =10\cdot(100\cdot 300)^{0,6} =10\cdot 30000^{0,6}.
Para obter uma aproximação numérica útil sem depender de calculadora avançada, uso a propriedade das potências em base 10:
30000=3\cdot 10^{4}\quad\Rightarrow\quad 30000^{0,6}=3^{0,6}\cdot 10^{4\cdot 0,6}=3^{0,6}\cdot 10^{2,4}.
Logo
q(100,300)=10\cdot 3^{0,6}\cdot 10^{2,4}=3^{0,6}\cdot 10^{3,4}.
Usando aproximações padrões (explicito os passos mentais): 3^{0,6}\approx 1,933 e 10^{0,4}\approx 2,5119, então 10^{3,4}=10^{3}\cdot 10^{0,4}\approx 1000\cdot 2,5119=2511,9. Multiplicando:
q(100,300)\approx 1,933\cdot 2511,9\approx 4855,6.
Portanto, q(100,300)\approx 4855{,}6 (aproximação).

Passo 4

Calcular q em (x_{1},x_{2})=(200,600). Note que (200,600)=2\cdot(100,300), ou seja dobramos ambos os insumos. É útil explorar propriedade de homogeneidade:
Se substituímos x_{1} por 2x_{1} e x_{2} por 2x_{2},
q(2x_{1},2x_{2})=10(2x_{1})^{0,6}(2x_{2})^{0,6} =10\cdot 2^{0,6}\cdot 2^{0,6}\cdot x_{1}^{0,6}x_{2}^{0,6} =2^{1,2}\cdot q(x_{1},x_{2}).
Ou seja, dobrar ambos os insumos multiplica q por 2^{1,2}. Calculando numericamente:
2^{1,2}=e^{1,2\ln 2}\approx e^{0,8317766}\approx 2,297.
Assim
q(200,600)=2^{1,2}\cdot q(100,300)\approx 2,297\cdot 4855{,}6\approx 11157.
Portanto q(200,600)\approx 11157. Comparação: a produção aumentou mais que o dobro (aprox. 2,297 vezes), ou seja, ao dobrar insumos obtivemos aumento proporcional maior que 2.

Passo 5

Classificação de retornos de escala (explicando a ideia): para funções multiplicativas com potências do tipo x_{1}^{a}x_{2}^{b}, a soma dos expoentes a+b determina os retornos de escala:
  • Se a+b=1 temos retornos constantes de escala;
  • Se a+b<1 retornos decrescentes;
  • Se a+b>1 retornos crescentes.
No nosso caso a=0,6 e b=0,6, então
a+b=0,6+0,6=1,2>1,
logo a tecnologia apresenta retornos crescentes de escala — explicação confirmada também pelo resultado numérico do passo anterior (dobrar insumos aumenta a produção em fator 2^{1,2}>2).

Passo 6

Calcular a TMST (taxa marginal de substituição técnica) e interpretar.
Definição e derivação intuitiva: numa isoquanta (nível fixo de produção) dq=0. Diferenciando total q obtemos
dq=MP_{1}\,dx_{1}+MP_{2}\,dx_{2}=0.
Isolando a inclinação dx_{2}/dx_{1} da isoquanta:
\frac{dx_{2}}{dx_{1}}=-\frac{MP_{1}}{MP_{2}}.
A TMST normalmente é tomada como a magnitude dessa inclinação (quantos units de x_{2} posso reduzir ao aumentar uma unidade de x_{1} mantendo q constante):
\mathrm{TMST}=\frac{MP_{1}}{MP_{2}}.
Usando os produtos marginais calculados em

Passo 7

\mathrm{TMST}=\frac{6\,x_{1}^{-0,4}x_{2}^{0,6}}{6\,x_{1}^{0,6}x_{2}^{-0,4}} =\frac{x_{2}}{x_{1}}.
Interpretação: a TMST é simplesmente \dfrac{x_{2}}{x_{1}}. Por exemplo, em (100,300) temos \mathrm{TMST}=300/100=3: isto significa que, para manter o mesmo nível de produção naquele ponto, se eu aumentar x_{1} em uma unidade infinitesimal eu posso diminuir x_{2} em aproximadamente 3 unidades (a inclinação é negativa; a magnitude é 3).

Passo 8

Provar existência de rendimentos marginais decrescentes (explicando a ideia): rendimentos marginais decrescentes significam que o produto marginal de um fator diminui quando esse próprio fator aumenta, mantendo o outro fixo. Uma maneira direta é calcular a segunda derivada parcial em relação ao mesmo fator e ver seu sinal.
A partir de MP_{1}=6\,x_{1}^{-0,4}x_{2}^{0,6}, derivando novamente em relação a x_{1}:
\frac{\partial^{2}q}{\partial x_{1}^{2}} =6\cdot(-0,4)\; x_{1}^{-1,4}\; x_{2}^{0,6} =-2,4\; x_{1}^{-1,4}\; x_{2}^{0,6}.
Como x_{1}^{-1,4}>0 e x_{2}^{0,6}>0 para x_{1},x_{2}>0, temos
\frac{\partial^{2}q}{\partial x_{1}^{2}}<0,
portanto MP_{1} diminui quando x_{1} aumenta (com x_{2} fixo).
Analogamente, a partir de MP_{2}=6\,x_{1}^{0,6}x_{2}^{-0,4},
\frac{\partial^{2}q}{\partial x_{2}^{2}} =6\cdot(-0,4)\; x_{1}^{0,6}\; x_{2}^{-1,4} =-2,4\; x_{1}^{0,6}\; x_{2}^{-1,4}<0.
Logo MP_{2} também decresce quando x_{2} aumenta (com x_{1} fixo). Isso prova formalmente a existência de rendimentos marginais decrescentes para ambos os fatores.

Resposta

a) MP_{1}=\dfrac{\partial q}{\partial x_{1}}=6\,x_{1}^{-0,4}x_{2}^{0,6};\quad MP_{2}=\dfrac{\partial q}{\partial x_{2}}=6\,x_{1}^{0,6}x_{2}^{-0,4}
b) q(100,300)\approx 4855{,}6
c) q(200,600)\approx 11157. Comparação: q(200,600)=2^{1,2}\,q(100,300)\approx 2{,}297\cdot q(100,300) (a produção aumentou mais que o dobro). A tecnologia apresenta retornos crescentes de escala, pois 0{,}6+0{,}6=1{,}2>1.
d) \mathrm{TMST}=\dfrac{MP_{1}}{MP_{2}}=\dfrac{x_{2}}{x_{1}}. Interpretação: é a quantidade de x_{2} que pode ser reduzida (em magnitude) quando se aumenta x_{1} em 1 unidade, mantendo q constante; por exemplo em (100,300) a TMST =3.
e) \dfrac{\partial^{2}q}{\partial x_{1}^{2}}=-2{,}4\,x_{1}^{-1,4}x_{2}^{0,6}<0 e \dfrac{\partial^{2}q}{\partial x_{2}^{2}}=-2{,}4\,x_{1}^{0,6}x_{2}^{-1,4}<0 para x_{1},x_{2}>0; portanto os produtos marginais diminuem quando o respectivo insumo aumenta (rendimentos marginais decrescentes).

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