Suponha uma tecnologia de produção representada pela função de produção
. Com base nessa função, pede-se:
a) Calcular as funções de produto marginal para os fatores x 1 e x 2 .
b) Calcular a produção da firma quando
e
c) Calcular a produção da firma quando
. Compare com a resposta do item (b). O que ocorreu? Essa tecnologia apresenta retornos crescentes, constantes ou decrescentes de escala? Explique sua resposta.
d) Calcule a taxa marginal de substituição técnica (TMST) entre os fatores de produção. Explique o que essa taxa representa e interprete seu resultado.
e) Prove, a partir do item (a), a existência de rendimentos marginais decrescentes para os fatores de produção.
a) Calcular as funções de produto marginal para os fatores x 1 e x 2 .
b) Calcular a produção da firma quando
c) Calcular a produção da firma quando
d) Calcule a taxa marginal de substituição técnica (TMST) entre os fatores de produção. Explique o que essa taxa representa e interprete seu resultado.
e) Prove, a partir do item (a), a existência de rendimentos marginais decrescentes para os fatores de produção.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção
e pede cinco coisas:
a) calcular as funções de produto marginal para e
;
b) calcular a produção quando e
;
c) calcular a produção quando e
, comparar com (b) e dizer se a tecnologia tem retornos crescentes, constantes ou decrescentes de escala;
d) calcular a taxa marginal de substituição técnica (TMST) entre os fatores, explicar o que ela representa e interpretar o resultado;
e) provar, a partir do item (a), que existem rendimentos marginais decrescentes para os fatores.
a) calcular as funções de produto marginal para
b) calcular a produção quando
c) calcular a produção quando
d) calcular a taxa marginal de substituição técnica (TMST) entre os fatores, explicar o que ela representa e interpretar o resultado;
e) provar, a partir do item (a), que existem rendimentos marginais decrescentes para os fatores.
Informações relevantes dadas: a função de produção explícita acima e os pontos de avaliação para os itens (b) e (c). Vamos trabalhar assumindo
e
(condição padrão para insumos).
Passo 2
Vamos calcular os produtos marginais (paradas didáticas rápidas sobre derivadas): quando temos uma função do tipo
com constante
, a regra de derivação (regra do poder) diz que
Aqui
é produto de potências de
e
. Para obter o produto marginal de
(denotado
) derivamos
em relação a
, tratando
como constante; para
derivamos em relação a
. Aplicando a regra do poder:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Comentário prático:
mede quanto a produção aumenta (aproximadamente) quando eu aumento um pouco
, mantendo
fixo;
faz a mesma coisa trocando os papéis.
Passo 3
Calcular
em
.
Começo simplificando a expressão:
Para obter uma aproximação numérica útil sem depender de calculadora avançada, uso a propriedade das potências em base 10:
Logo
Usando aproximações padrões (explicito os passos mentais):
e
, então
. Multiplicando:
Portanto,
(aproximação).
Passo 4
Calcular
em
. Note que
, ou seja dobramos ambos os insumos. É útil explorar propriedade de homogeneidade:
Se substituímos
por
e
por
,
Ou seja, dobrar ambos os insumos multiplica
por
. Calculando numericamente:
Assim
Portanto
. Comparação: a produção aumentou mais que o dobro (aprox. 2,297 vezes), ou seja, ao dobrar insumos obtivemos aumento proporcional maior que 2.
Passo 5
Classificação de retornos de escala (explicando a ideia): para funções multiplicativas com potências do tipo
, a soma dos expoentes
determina os retornos de escala:
- Se
temos retornos constantes de escala; - Se
retornos decrescentes; - Se
retornos crescentes.
No nosso caso
e
, então
logo a tecnologia apresenta retornos crescentes de escala — explicação confirmada também pelo resultado numérico do passo anterior (dobrar insumos aumenta a produção em fator
).
Passo 6
Calcular a TMST (taxa marginal de substituição técnica) e interpretar.
Definição e derivação intuitiva: numa isoquanta (nível fixo de produção)
. Diferenciando total
obtemos
Isolando a inclinação
da isoquanta:
A TMST normalmente é tomada como a magnitude dessa inclinação (quantos units de
posso reduzir ao aumentar uma unidade de
mantendo
constante):
Usando os produtos marginais calculados em
Passo 7
Interpretação: a TMST é simplesmente
. Por exemplo, em
temos
: isto significa que, para manter o mesmo nível de produção naquele ponto, se eu aumentar
em uma unidade infinitesimal eu posso diminuir
em aproximadamente 3 unidades (a inclinação é negativa; a magnitude é 3).
Passo 8
Provar existência de rendimentos marginais decrescentes (explicando a ideia): rendimentos marginais decrescentes significam que o produto marginal de um fator diminui quando esse próprio fator aumenta, mantendo o outro fixo. Uma maneira direta é calcular a segunda derivada parcial em relação ao mesmo fator e ver seu sinal.
A partir de
, derivando novamente em relação a
:
Como
e
para
, temos
portanto
diminui quando
aumenta (com
fixo).
Analogamente, a partir de
,
Logo
também decresce quando
aumenta (com
fixo). Isso prova formalmente a existência de rendimentos marginais decrescentes para ambos os fatores.
Resposta
a)
;\quad
b)
c) . Comparação:
(a produção aumentou mais que o dobro). A tecnologia apresenta retornos crescentes de escala, pois
.
d) . Interpretação: é a quantidade de
que pode ser reduzida (em magnitude) quando se aumenta
em 1 unidade, mantendo
constante; por exemplo em
a TMST
.
e) e
para
; portanto os produtos marginais diminuem quando o respectivo insumo aumenta (rendimentos marginais decrescentes).
b)
c)
d)
e)