Suponhamos que uma matriz
comuta com toda matriz de
. Mostre que
, para algum
.
Passo 1
O enunciado dá que há uma matriz
que comuta com toda matriz de
. Em linguagem clara isso significa:
- Informação dada: para todo
vale . - O que se pede: mostrar que existe
tal que , onde é a matriz identidade .
Para trabalhar de forma concreta, vou escrever
com entradas arbitrárias e usar matrizes simples (daquelas com apenas um 1) como escolhas de
. Essas matrizes simples pertencem a
, logo a hipótese de comutação vale para elas também.
Passo 2
Escrevo
em termos de suas entradas:
com
.
Considere a matriz
definida por
Pela hipótese
. Vou calcular ambos os produtos cuidadosamente.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Como
, as duas matrizes obtidas devem ser iguais componente a componente. Comparando entradas:
- entrada
: , - entrada
: , - entrada
: (que confirma ).
Portanto desta comparação obtemos
Passo 3
Agora considere a matriz
definida por
Pela hipótese
. Calculo os produtos.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Igualando
e
por entradas:
- entrada
: → , - entrada
: → confirma , - entrada
: → confirma .
Assim obtemos
Passo 4
Juntando os resultados dos passos anteriores temos
,
e
. Portanto a matriz
tem a forma
Como
, definindo
obtemos
com
.
Observação curta e útil: foi suficiente escolher matrizes
que formam uma base de
(as
); se
comuta com todos os elementos de uma base, comuta com todas as combinações lineares — isto explica por que a verificação com essas matrizes simples é suficiente.]