Suponhamos que uma matriz B \in M_{2}(\mathbb{R}) comuta com toda matriz de M_{2}(\mathbb{R}). Mostre que B=k I_{2}, para algum k \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá que há uma matriz B\in M_{2}(\mathbb{R}) que comuta com toda matriz de M_{2}(\mathbb{R}). Em linguagem clara isso significa:
  • Informação dada: para todo A\in M_{2}(\mathbb{R}) vale \,AB=BA.
  • O que se pede: mostrar que existe k\in\mathbb{R} tal que B=kI_{2}, onde I_{2} é a matriz identidade 2\times2.
Para trabalhar de forma concreta, vou escrever B com entradas arbitrárias e usar matrizes simples (daquelas com apenas um 1) como escolhas de A. Essas matrizes simples pertencem a M_{2}(\mathbb{R}), logo a hipótese de comutação vale para elas também.

Passo 2

Escrevo B em termos de suas entradas:
B=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}.
Considere a matriz E_{12} definida por
E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Pela hipótese E_{12}B=BE_{12}. Vou calcular ambos os produtos cuidadosamente.
Cálculo de E_{12}B:
E_{12}B= \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot a + 1\cdot c & 0\cdot b + 1\cdot d \\[4pt] 0\cdot a + 0\cdot c & 0\cdot b + 0\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c & d \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Cálculo de BE_{12}:
BE_{12}= \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot 0 + b\cdot 0 & a\cdot 1 + b\cdot 0 \\[4pt] c\cdot 0 + d\cdot 0 & c\cdot 1 + d\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & a \\[4pt] 0 & c\end{pmatrix}.
Como E_{12}B=BE_{12}, as duas matrizes obtidas devem ser iguais componente a componente. Comparando entradas:
  • entrada (1,1): c = 0,
  • entrada (1,2): d = a,
  • entrada (2,2): 0 = c (que confirma c=0).
Portanto desta comparação obtemos
c=0,\qquad d=a.]

Passo 3

Agora considere a matriz E_{21} definida por
E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Pela hipótese E_{21}B=BE_{21}. Calculo os produtos.
Cálculo de E_{21}B:
E_{21}B= \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot a + 0\cdot c & 0\cdot b + 0\cdot d \\[4pt] 1\cdot a + 0\cdot c & 1\cdot b + 0\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] a & b\end{pmatrix}.
Cálculo de BE_{21}:
BE_{21}= \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot 0 + b\cdot 1 & a\cdot 0 + b\cdot 0 \\[4pt] c\cdot 0 + d\cdot 1 & c\cdot 0 + d\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b & 0 \\[4pt] d & 0\end{pmatrix}.
Igualando E_{21}B e BE_{21} por entradas:
  • entrada (1,1): 0 = b b=0,
  • entrada (2,1): a = d → confirma d=a,
  • entrada (2,2): b = 0 → confirma b=0.
Assim obtemos
b=0,\qquad d=a.]

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores temos b=0, c=0 e d=a. Portanto a matriz B tem a forma
B=\begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & a\end{pmatrix}=a I_{2}.
Como a\in\mathbb{R}, definindo k:=a obtemos B=kI_{2} com k\in\mathbb{R}.
Observação curta e útil: foi suficiente escolher matrizes A que formam uma base de M_{2}(\mathbb{R}) (as E_{ij}); se B comuta com todos os elementos de uma base, comuta com todas as combinações lineares — isto explica por que a verificação com essas matrizes simples é suficiente.]

Resposta

B=kI_{2},\\ k\in\mathbb{R}

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