Seja M=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right].
(a) Mostre que se A é una matriz 2 \times 2 qualquer, entāo A M=M A, se e somente se, A=\left[\begin{array}{rr}a & b \\\\ -b & a\end{array}\right].
(b) Mostre que se A e B são matrizes 2 \times 2 que comutam com M, então A e B comutam entre si, isto é, A B=B A.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
M=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
(a) Mostrar que, para uma matriz 2\times 2 qualquer A, vale A M = M A se, e somente se,
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix}
para alguns escalares a,b.
(b) Mostrar que, se A e B são matrizes 2\times 2 que comutam com M (isto é, AM=MA e BM=MB), então A e B comutam entre si: AB=BA.
Informações relevantes fornecidas:
M está dada explicitamente (peguei M do enunciado).
A e B são matrizes arbitrárias 2\times 2 (parte (a) usa apenas A; parte (b) usa A e B que satisfazem as hipóteses de comutarem com M).]
Passo 2
Começo por tomar uma matriz 2\times 2 genérica
A=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix},
onde x,y,z,w são escalares. Vou calcular explicitamente AM e MA usando a definição de multiplicação de matrizes: o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira pela coluna j da segunda.
Para ter AM=MA\) igualamos as entradas correspondentes das duas matrizes obtidas. Igualando termo a termo:
\[\begin{cases} -y = z,\\[4pt] x = w,\\[4pt] -w = -x,\\[4pt] z = -y. \end{cases}
Dessas igualdades vemos que as condições se reduzem a
x = w \quad\text{e}\quad z = -y.
(As outras duas equações são redundantes por serem equivalentes às anteriores.)
Portanto qualquer A\] que comuta com \(M deve ter a forma
Como os resultados coincidem, concluímos que qualquer matriz da forma \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]-b&a\end{pmatrix} comuta com M. Isso completa a prova da equivalência pedida em (a).]
Passo 7
Agora parte (b). Suponha que A e B comutam com M. Pelo item (a) ambas têm, respectivamente, as formas
Mas como a multiplicação escalar é comutativa, ca=db? Não — cuidado: ca=ac e db=bd, e cb+da = bc+ad. Portanto os elementos de BA coincidem exatamente com os de AB:
(Interpretação curta e didática: as matrizes da forma \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]-b&a\end{pmatrix} correspondem às operações de multiplicação por o número complexo a+bi; multiplicação de complexos é comutativa, por isso esses blocos matriciais também se multiplicam de forma comutativa.)]