Seja M=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right].
(a) Mostre que se A é una matriz 2 \times 2 qualquer, entāo A M=M A, se e somente se, A=\left[\begin{array}{rr}a & b \\\\ -b & a\end{array}\right].
(b) Mostre que se A e B são matrizes 2 \times 2 que comutam com M, então A e B comutam entre si, isto é, A B=B A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
(a) Mostrar que, para uma matriz 2\times 2 qualquer A, vale A M = M A se, e somente se,
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix}
para alguns escalares a,b.
(b) Mostrar que, se A e B são matrizes 2\times 2 que comutam com M (isto é, AM=MA e BM=MB), então A e B comutam entre si: AB=BA.
Informações relevantes fornecidas:
  • M está dada explicitamente (peguei M do enunciado).
  • A e B são matrizes arbitrárias 2\times 2 (parte (a) usa apenas A; parte (b) usa A e B que satisfazem as hipóteses de comutarem com M).]

Passo 2

Começo por tomar uma matriz 2\times 2 genérica
A=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix},
onde x,y,z,w são escalares. Vou calcular explicitamente AM e MA usando a definição de multiplicação de matrizes: o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira pela coluna j da segunda.
Calculemos AM:
AM=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
Entradas:
  • primeira linha, primeira coluna: x\cdot 0 + y\cdot(-1) = -y.
  • primeira linha, segunda coluna: x\cdot 1 + y\cdot 0 = x.
  • segunda linha, primeira coluna: z\cdot 0 + w\cdot(-1) = -w.
  • segunda linha, segunda coluna: z\cdot 1 + w\cdot 0 = z.
Portanto
AM=\begin{pmatrix}-y & x\\[4pt]-w & z\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculemos MA:
MA=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix}.
Entradas:
  • primeira linha, primeira coluna: 0\cdot x + 1\cdot z = z.
  • primeira linha, segunda coluna: 0\cdot y + 1\cdot w = w.
  • segunda linha, primeira coluna: (-1)\cdot x + 0\cdot z = -x.
  • segunda linha, segunda coluna: (-1)\cdot y + 0\cdot w = -y.
Logo
MA=\begin{pmatrix}z & w\\[4pt]-x & -y\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para ter AM=MA\) igualamos as entradas correspondentes das duas matrizes obtidas. Igualando termo a termo: \[\begin{cases} -y = z,\\[4pt] x = w,\\[4pt] -w = -x,\\[4pt] z = -y. \end{cases}
Dessas igualdades vemos que as condições se reduzem a
x = w \quad\text{e}\quad z = -y.
(As outras duas equações são redundantes por serem equivalentes às anteriores.)
Portanto qualquer A\] que comuta com \(M deve ter a forma
A=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]-y & x\end{pmatrix}.
Renomeando x=a e y=b, obtemos a forma pedida:
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora faço a verificação do outro sentido (suficiência): mostro que toda matriz da forma indicada realmente comuta com M.
Seja
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix}.
Calcule AM e MA como em]

Passo 6

Usando a fórmula direta:
AM=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-b & a\\[4pt]-a & -b\end{pmatrix},
e
MA=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-b & a\\[4pt]-a & -b\end{pmatrix}.
Como os resultados coincidem, concluímos que qualquer matriz da forma \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]-b&a\end{pmatrix} comuta com M. Isso completa a prova da equivalência pedida em (a).]

Passo 7

Agora parte (b). Suponha que A e B comutam com M. Pelo item (a) ambas têm, respectivamente, as formas
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}c & d\\[4pt]-d & c\end{pmatrix},
com alguns escalares a,b,c,d.
Vou calcular AB explicitamente (a verificação de BA será análoga e dará o mesmo resultado). Multiplicando:
AB=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c & d\\[4pt]-d & c\end{pmatrix}.
Entradas de AB:
  • primeira linha, primeira coluna: a c + b(-d)=ac-bd.
  • primeira linha, segunda coluna: a d + b c=ad+bc.
  • segunda linha, primeira coluna: (-b)c + a(-d) = -bc-ad = -(ad+bc).
  • segunda linha, segunda coluna: (-b)d + a c = -bd + ac = ac-bd.
Assim
AB=\begin{pmatrix}ac-bd & ad+bc\\[4pt]-(ad+bc) & ac-bd\end{pmatrix}.]

Passo 8

Se agora calculamos BA obtemos (fazendo o produto na ordem trocada)
BA=\begin{pmatrix}c & d\\[4pt]-d & c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ca-db & cb+da\\[4pt]-(cb+da) & ca-db\end{pmatrix}.
Mas como a multiplicação escalar é comutativa, ca=db? Não — cuidado: ca=ac e db=bd, e cb+da = bc+ad. Portanto os elementos de BA coincidem exatamente com os de AB:
BA=\begin{pmatrix}ac-bd & ad+bc\\[4pt]-(ad+bc) & ac-bd\end{pmatrix}=AB.
Logo AB=BA.
(Interpretação curta e didática: as matrizes da forma \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]-b&a\end{pmatrix} correspondem às operações de multiplicação por o número complexo a+bi; multiplicação de complexos é comutativa, por isso esses blocos matriciais também se multiplicam de forma comutativa.)]

Resposta

(a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-b & a\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle AB=BA.]

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