Express as a product of prime numbers:
319410 .

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número 319410 como produto de números primos. Ou seja, encontrar a fatoração prima de 319410 — representar 319410 como um produto de primos (possivelmente repetidos). Informação dada: o número inteiro 319410.

Passo 2

Lembrete rápido e método que vamos usar (teste de divisibilidade e divisão sucessiva):
  • Se um número é par, divide por 2.
  • Se a soma dos algarismos é múltipla de 3, o número é divisível por 3.
  • Se termina em 0 ou 5, é divisível por 5.
  • Para outros primos pequenos ( 7,11,13,\dots) podemos testar divisão ou tentar ver multiplicações conhecidas.
    Vamos dividir sucessivamente por primos começando pelos menores até reduzir o número a 1.

Passo 3

Testando divisibilidade por 2: 319410 é par (termina em 0), então
319410 = 2 \times 159705.

Passo 4

Testando 159705: termina em 5, então é divisível por 5:
159705 = 5 \times 31941,
portanto até agora
319410 = 2 \times 5 \times 31941.

Passo 5

Testando 31941 para divisibilidade por 3: soma dos algarismos 3+1+9+4+1=18, e 18 é múltiplo de 3. Logo divide por 3:
31941 = 3 \times 10647.
Testamos 10647: soma 1+0+6+4+7=18 também múltiplo de 3, então
10647 = 3 \times 3549.
Testamos 3549: soma 3+5+4+9=21, múltiplo de 3, então
3549 = 3 \times 1183.
Juntando tudo até aqui:
319410 = 2 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 1183 = 2 \times 5 \times 3^{3} \times 1183.

Passo 6

Agora fatorar 1183. Testamos primos pequenos:
  • Divisão por 7: calcular 169\times7 = 1183. Portanto
1183 = 7 \times 169.
E 169 é conhecida como 13^2:
169 = 13 \times 13 = 13^{2}.
Logo
1183 = 7 \times 13^{2}.

Passo 7

Substituindo a fatoração de 1183 na expressão anterior, obtemos a fatoração completa de 319410:
319410 = 2 \times 5 \times 3^{3} \times 7 \times 13^{2}.

Resposta

319410 = 2 \times 3^{3} \times 5 \times 7 \times 13^{2}

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