Express as a product of prime numbers:
1485 ;

Passo 1

O enunciado pede para expressar como produto de números primos o número 1485.
Informação dada: o número a fatorar é 1485.

Passo 2

O que é pedir “produto de primos”? Significa escrever 1485 como multiplicação apenas de números primos (por exemplo 2,3,5,7,11,\dots).
Método prático (o mais usado em provas): dividir sucessivamente o número por primos pequenos (começando por 2,3,5,7,\dots) sempre que a divisão for exata, e repetir o processo com o quociente até chegar a 1. Cada divisor exato é um fator primo. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Teste de divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 se termina em 0,2,4,6 ou 8. Como 1485 termina em 5, não é divisível por 2.

Passo 4

Teste de divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 se termina em 0 ou 5. 1485 termina em 5, então é divisível por 5. Faça a divisão:
1485 \div 5 = 297.
Então 5 é um fator primo e agora precisamos fatorar 297.

Passo 5

Teste de divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos for divisível por 3. Soma dos algarismos de 297: 2+9+7=18. Como 18 é divisível por 3, então 297 é divisível por 3. Faça a divisão:
297 \div 3 = 99.
Assim, encontramos um fator primo 3. Ainda resta fatorar 99.

Passo 6

Verifique 99: a soma dos algarismos de 99 é 9+9=18, também divisível por 3, logo 99 é divisível por 3. Faça a divisão:
99 \div 3 = 33.
Encontramos mais um fator 3. Falta fatorar 33.

Passo 7

Verifique 33: 33 também tem soma de algarismos 3+3=6, divisível por 3. Dividindo:
33 \div 3 = 11.
Encontramos mais um fator 3. Agora o quociente é 11.

Passo 8

O número 11 é primo (não tem divisores inteiros positivos além de 1 e 11). Portanto terminamos a fatoração.
Os fatores primos encontrados, em forma de lista, são 3,3,3,5,11.

Passo 9

Verificação rápida (para ter certeza): calcule 3^3=27; 27\cdot5=135; 135\cdot11=1485. A multiplicação confirma que a fatoração está correta.

Resposta

3^{3}\cdot5\cdot11

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