Suppose a model given by yi=phi0+phi1 xi+ui, and that a random sample is obtained from the population of interest. The following statistics were observed in the sample:
sumi=1^n(yi-bary)(xi-barx)=100
sumi=1^n(xi-barx)^2=50 sumi=1^n yin=30 sumi=1^n xin=5
Considering an individual in the sample whose value for x is 50 , what is the estimated value for y for said individual?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que a gente tem um modelo de regressão linear simples
yi = phi0 + phi1 xi + ui
e uma amostra onde foram observados:
(que é a soma dos desvios conjuntos)
(que é a soma dos desvios ao quadrado de )

O que precisamos aqui é aplicar a fórmula dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para achar (o coeficiente angular) e (o intercepto), e depois prever para .

Passo 2

Calcular o coeficiente angular hatphi1 ;=; sumi=1^n (yi - bar y)(xi - bar x)sumi=1^n (xi - bar x)^2 .
Na teoria de MQO, o estimador da inclinação é
hatphi1 = 10050 = 2
Aqui basta substituir os valores:
Isso significa que, em média, cada unidade a mais em eleva em 2 unidades.

Passo 3

Calcular o intercepto hatphi0 = bar y - hatphi1,bar x .
Também pela teoria de MQO,
hatphi0 = 30 - 2cdot 5 = 30 - 10 = 20
Substituindo , e :

Passo 4

Fazer a previsão hat yi = hatphi0 + hatphi1,xi = 20 + 2,xi para um indivíduo com hat y(50) = 20 + 2 times 50 = 20 + 100 = 120 .
O modelo estimado fica
Logo, para :

Resposta

A estimativa de para o indivíduo com é .

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