Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que é sempre maior que , e a densidade de probabilidade conjunta de pode ser modelada por
Encontre .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem duas variáveis contínuas, X e Y, com densidade conjunta
E pede a probabilidade condicional
O conteúdo aqui é:
descobrir a constante de normalização ,
achar a densidade marginal de ,
usar a fórmula de densidade condicional ,
integrar de até .
Vamos precisar de noções de densidade conjunta, marginalização e probabilidade condicional para variáveis contínuas.
Passo 2
Primeiro, a gente encontra impondo que a área total da densidade seja 1:
Note que a condição vira , e como faz , não precisamos do limite nessa integral. Então
Logo .
Passo 3
Agora a densidade marginal de fX(x) = integraly=0^x/2 f(x,y),dy = integral0^x/2 1,dy = x2, 0<= x<=2 é
Passo 4
A densidade condicional de fY|X(ymid x) = f(x,y)fX(x) = 1x/2 = 2x, 0<= y<= tfracx2 dado fY|X(ymid 1) = 2, 0<= y<=tfrac12 é