Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2 Y, e a densidade de probabilidade conjunta de (X, Y) pode ser modelada por
f(x, y)= k, & 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,2 y <= x 0, & caso contrário á
Encontre P(Y <= 1/4 | X=1).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem duas variáveis contínuas, X e Y, com densidade conjunta
f(x,y) = k, & 0 <= x <= 2,;0 <= y <= 1,;2y <= x, 0, & caso contrário á
E pede a probabilidade condicional

O conteúdo aqui é:
  1. descobrir a constante de normalização ,
  2. achar a densidade marginal de ,
  3. usar a fórmula de densidade condicional ,
  4. integrar de até .
    Vamos precisar de noções de densidade conjunta, marginalização e probabilidade condicional para variáveis contínuas.

Passo 2

Primeiro, a gente encontra 1 ;=;integral duplaregião f(x,y),dy,dx ;=;integral dupla0<= x<=2,;0<= y<= x/2 k,dy,dx impondo que a área total da densidade seja 1:
1 ;=; k integralx=0^2!integraly=0^x/2 dy,dx = k integral0^2 l[yr]0^x/2 dx = k integral0^2 x2,dx = k cdot 12,x^22|0^2 = k cdot 1 ã
Note que a condição vira , e como faz , não precisamos do limite nessa integral. Então
Logo .

Passo 3

Agora a densidade marginal de fX(x) = integraly=0^x/2 f(x,y),dy = integral0^x/2 1,dy = x2, 0<= x<=2 é

Passo 4

A densidade condicional de fY|X(ymid x) = f(x,y)fX(x) = 1x/2 = 2x, 0<= y<= tfracx2 dado fY|X(ymid 1) = 2, 0<= y<=tfrac12 é
Pl(Y<=tfrac14 mid X=1r) = integral0^1/4 2,dy = 2cdot 14 = tfrac12
Em particular, para , temos
Para achar , integramos de até :

Resposta

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