Suppose the cumulative distribution function of the random variable X is
F(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & x<0 \\\\ 0.2 x & 0 \leq x<5 \\\\ 1 & 5 \leq x \end{array}\right.
Determine the following:
P(X<2.8)

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada (CDF) F\) da variável aleatória \(X\): \[F(x)=\begin{cases} 0 & x<0,\\[4pt] 0{,}2\,x & 0\le x<5,\\[4pt] 1 & 5\le x. \end{cases}
A pergunta é: calcular (P(X<2{,}8)].]

Passo 2

Explicando a relação entre CDF e probabilidades (aula rápida e prática): para qualquer ponto real a vale
P(X<a)=\lim_{x\to a^-}F(x),
ou seja, a probabilidade de X ser estritamente menor que a é o limite à esquerda da função de distribuição em a. Já
P(X\le a)=F(a).
Se F for contínua em a (não houver salto/jump em a), então P(X<a)=P(X\le a)=F(a). Se houver um salto em a, esse salto corresponde à massa de probabilidade em a, e então P(X\le a)-P(X<a)=P(X=a)>0.

Passo 3

Verifiquemos a região onde está 2{,}8: temos 0\le 2{,}8<5, portanto para pontos próximos de 2{,}8 a CDF é dada por F(x)=0{,}2\,x. Essa expressão é uma função linear contínua, logo não há salto em x=2{,}8. Assim podemos usar
P(X<2{,}8)=F(2{,}8).

Passo 4

Calculemos F(2{,}8). Usando a expressão F(x)=0{,}2\,x para x na faixa dada:
F(2{,}8)=0{,}2\cdot 2{,}8.
Para multiplicar: 0{,}2=\tfrac{1}{5}, então 0{,}2\cdot 2{,}8=\tfrac{2{,}8}{5}. Dividindo, \tfrac{2{,}8}{5}=0{,}56. Alternativamente, 2{,}8\cdot 2=5{,}6 e movendo a vírgula uma casa para a esquerda dá 0{,}56.

Resposta

0{,}56

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