Em uma fábrica, uma amostra de 30 parafusos apresentou os seguintes diâmetros (em mm):
\begin{aligned} & 10 13 14 11 13 14 11 13 14 15 \\\ & 12 14 15 13 14 12 12 11 15 16 \\\ & 13 15 14 14 15 15 16 12 10 15 \end{aligned}
Supondo que os diâmetros sejam aproximadamente normais, obtenha um intervalo de confiança para o diâmetro médio de todos os parafusos produzidos nessa fábrica, usando o nível de significância de 2 \%. Para facilitar a solução do exercício, você pode usar os seguintes resultados:
\sum_{i=1}^{30} x_{i}=401 \quad \sum_{i=1}^{30} x_{i}^{2}=5443

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança para o diâmetro médio de todos os parafusos produzidos na fábrica, usando nível de significância de 2\%.
Dados fornecidos relevantes:
n=30, \qquad \sum_{i=1}^{30} x_i = 401, \qquad \sum_{i=1}^{30} x_i^2 = 5443,
e foi informado que os diâmetros são aproximadamente normais. Não há outras informações faltando.

Passo 2

Vamos calcular a média amostral \bar{x}. A fórmula da média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Substituindo os valores dados:
\bar{x}=\frac{401}{30}=13,366\overline{6}\approx 13,3667.
Interpretação: \bar{x} é a melhor estimativa pontual para a média verdadeira do diâmetro.

Passo 3

Como a variância populacional não foi fornecida, calculamos a variância amostral s^2 e o desvio-padrão amostral s. A fórmula desvio-amostral (com correção de Bessel) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2\right).
Explico as partes:
  • \sum x_i^2 é a soma dos quadrados (dada).
  • n\bar{x}^2 é o ajuste para remover a contribuição da média.
  • Dividimos por n-1 (e não por n) para obter uma estimativa não viesada da variância populacional.
Agora os cálculos numéricos:
n\bar{x}^2=\frac{(\sum x_i)^2}{n}=\frac{401^2}{30}=\frac{160801}{30}\approx 5360,0333.
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 5443 - 5360,0333 = 82,9666667.
s^2=\frac{82,9666667}{29}\approx 2,8602292.
s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{2,8602292}\approx 1,6912.
Interpretação: s é a estimativa do desvio-padrão dos diâmetros na população.

Passo 4

Escolha do tipo de intervalo: como n=30 (amostra relativamente pequena), e a variância populacional é desconhecida, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Não esqueça: o enunciado disse “aproximadamente normal”, condição necessária para usar a t quando n não é grande e \sigma é desconhecido.
Nível de significância dado: \alpha=0,02. Para um intervalo bilateral,
\text{nível de confiança} = 1-\alpha = 0,98 \;\;(\text{ou }98\%).íç
O quantil crítico necessário é t_{1-\alpha/2,\;n-1}=t_{0,99,\,29}. Pelo quadro da t (tabela), para 29 graus de liberdade e cauda superior 0,01 obtemos aproximadamente
t_{0,99,\,29}\approx 2,462.

Passo 5

Fórmula do intervalo de confiança para a média (quando \sigma é desconhecido):
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Vou calcular o termo de erro (a margem):
\frac{s}{\sqrt{n}} \approx \frac{1,6912}{\sqrt{30}}=\frac{1,6912}{5,4772}\approx 0,3089.
\text{margem}=t_{0,99,29}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,462\cdot 0,3089\approx 0,7603.

Passo 6

Agora montamos o intervalo usando \bar{x}\approx 13,3667 e a margem \approx 0,7603:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}\approx 13,3667-0,7603=12,6064,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}\approx 13,3667+0,7603=14,1269.
Interpretação final: com nível de confiança de 98\%, o intervalo para a média dos diâmetros é aproximadamente (12,6064,\;14,1269) em mm. Isso significa que, se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de 98\% dos intervalos construídos assim conteriam a verdadeira média populacional.

Resposta

\displaystyle (12,6064\\ \text{mm},\;14,1269\\ \text{mm})

Exercícios relacionados