Em uma fábrica, uma amostra de 30 parafusos apresentou os seguintes diâmetros (em mm):
Supondo que os diâmetros sejam aproximadamente normais, obtenha um intervalo de confiança para o diâmetro médio de todos os parafusos produzidos nessa fábrica, usando o nível de significância de
. Para facilitar a solução do exercício, você pode usar os seguintes resultados:
Passo 1
O enunciado pede um intervalo de confiança para o diâmetro médio de todos os parafusos produzidos na fábrica, usando nível de significância de
.
Dados fornecidos relevantes:
Dados fornecidos relevantes:
e foi informado que os diâmetros são aproximadamente normais. Não há outras informações faltando.
Passo 2
Vamos calcular a média amostral
. A fórmula da média amostral é
Substituindo os valores dados:
Interpretação:
é a melhor estimativa pontual para a média verdadeira do diâmetro.
Passo 3
Como a variância populacional não foi fornecida, calculamos a variância amostral
e o desvio-padrão amostral
. A fórmula desvio-amostral (com correção de Bessel) é
Explico as partes:
-
é a soma dos quadrados (dada). -
é o ajuste para remover a contribuição da média. - Dividimos por
(e não por ) para obter uma estimativa não viesada da variância populacional.
Agora os cálculos numéricos:
Interpretação:
é a estimativa do desvio-padrão dos diâmetros na população.
Passo 4
Escolha do tipo de intervalo: como
(amostra relativamente pequena), e a variância populacional é desconhecida, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição
de Student com
graus de liberdade. Não esqueça: o enunciado disse “aproximadamente normal”, condição necessária para usar a
quando
não é grande e
é desconhecido.
Nível de significância dado:
. Para um intervalo bilateral,
O quantil crítico necessário é
. Pelo quadro da
(tabela), para
graus de liberdade e cauda superior
obtemos aproximadamente
Passo 5
Fórmula do intervalo de confiança para a média (quando
é desconhecido):
Vou calcular o termo de erro (a margem):
Passo 6
Agora montamos o intervalo usando
e a margem
:
Interpretação final: com nível de confiança de
, o intervalo para a média dos diâmetros é aproximadamente
em mm. Isso significa que, se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos assim conteriam a verdadeira média populacional.