Um engenheiro civil tenciona medir a força compressiva de dois tipos de betão. De duas amostras aleatórias independentes de 10 elementos dos dois tipos resultaram:
Tipo I 3250 3268 4302 3184 3266 3297 3332 3502 3064 3116
Tipo II 3094 3268 4302 3184 3266 3124 3316 3212 3380 3018
Considerando que as amostras provêm de populações normais com desvio padrão igual a 353 e 363, respectivamente, determine um intervalo de confiança de
para a diferença entre os valores esperados das duas populações.
Tipo II 3094 3268 4302 3184 3266 3124 3316 3212 3380 3018
Passo 1
O enunciado pede um intervalo de confiança de
para a diferença entre as médias populacionais dos dois tipos de betão (vou chamar de
para o Tipo I e
para o Tipo II), ou seja, um intervalo para
.
Informações fornecidas (retirei os valores diretamente do enunciado):
Tamanhos das amostras:
Desvios-padrão populacionais (fornecidos):
Nível de confiança:
Passo 2
Calcular as médias amostrais
e
. Vou somar os elementos de cada amostra e dividir por
.
Soma do Tipo I (peguei os valores do enunciado):
Logo
Soma do Tipo II (peguei os valores do enunciado):
Logo
Diferença das médias amostrais:
Passo 3
Escolher a fórmula apropriada: como as populações são normais e os desvios-padrão populacionais
e
são conhecidos, usamos o intervalo de confiança para a diferença de médias com a distribuição normal (z):
Aqui:
-
é a diferença das médias amostrais (já calculada); -
é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança; -
e são as variâncias amostrais ajustadas pelo tamanho da amostra; a soma dentro da raiz dá a variância do estimador da diferença de médias.
Justificativa do uso do
: populações normais e desvios populacionais conhecidos -> distribuicão exata normal para
.
Passo 4
Calcular a variância do estimador e o erro padrão.
Primeiro as variâncias ao quadrado:
Dividindo por
e
:
Soma:
Erro padrão (desvio padrão do estimador
):
Passo 5
Determinar o quantil
para
. Para
temos
e
.
Passo 6
Calcular a margem de erro e os extremos do intervalo.
Margem de erro:
Intervalo de confiança:
Limite inferior:
Limite superior:
Portanto o intervalo de confiança de
para
é aproximadamente
.