Um engenheiro civil tenciona medir a força compressiva de dois tipos de betão. De duas amostras aleatórias independentes de 10 elementos dos dois tipos resultaram:
Tipo I 3250 3268 4302 3184 3266 3297 3332 3502 3064 3116
Tipo II 3094 3268 4302 3184 3266 3124 3316 3212 3380 3018
Considerando que as amostras provêm de populações normais com desvio padrão igual a 353 e 363, respectivamente, determine um intervalo de confiança de 95 \% para a diferença entre os valores esperados das duas populações.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para a diferença entre as médias populacionais dos dois tipos de betão (vou chamar de \mu_1 para o Tipo I e \mu_2 para o Tipo II), ou seja, um intervalo para \mu_1-\mu_2.
Informações fornecidas (retirei os valores diretamente do enunciado):
\text{Amostra Tipo I: }3250,\;3268,\;4302,\;3184,\;3266,\;3297,\;3332,\;3502,\;3064,\;3116
\text{Amostra Tipo II: }3094,\;3268,\;4302,\;3184,\;3266,\;3124,\;3316,\;3212,\;3380,\;3018
Tamanhos das amostras:
n_1=10,\qquad n_2=10.
Desvios-padrão populacionais (fornecidos):
\sigma_1=353,\qquad \sigma_2=363.
Nível de confiança:
95\%.

Passo 2

Calcular as médias amostrais \bar X_1 e \bar X_2. Vou somar os elementos de cada amostra e dividir por 10.
Soma do Tipo I (peguei os valores do enunciado):
3250+3268+4302+3184+3266+3297+3332+3502+3064+3116=33581
Logo
\bar X_1=\frac{33581}{10}=3358,1.
Soma do Tipo II (peguei os valores do enunciado):
3094+3268+4302+3184+3266+3124+3316+3212+3380+3018=33164
Logo
\bar X_2=\frac{33164}{10}=3316,4.
Diferença das médias amostrais:
\bar X_1-\bar X_2=3358,1-3316,4=41,7.

Passo 3

Escolher a fórmula apropriada: como as populações são normais e os desvios-padrão populacionais \sigma_1 e \sigma_2 são conhecidos, usamos o intervalo de confiança para a diferença de médias com a distribuição normal (z):
\left(\bar X_1-\bar X_2\right)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.
Aqui:
  • \bar X_1-\bar X_2 é a diferença das médias amostrais (já calculada);
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança;
  • \sigma_1^2/n_1 e \sigma_2^2/n_2 são as variâncias amostrais ajustadas pelo tamanho da amostra; a soma dentro da raiz dá a variância do estimador da diferença de médias.
Justificativa do uso do z: populações normais e desvios populacionais conhecidos -> distribuicão exata normal para \bar X_1-\bar X_2.

Passo 4

Calcular a variância do estimador e o erro padrão.
Primeiro as variâncias ao quadrado:
\sigma_1^2=353^2=124609,\qquad \sigma_2^2=363^2=131769.
Dividindo por n_1=10 e n_2=10:
\frac{\sigma_1^2}{n_1}=\frac{124609}{10}=12460,9, \qquad \frac{\sigma_2^2}{n_2}=\frac{131769}{10}=13176,9.
Soma:
12460,9+13176,9=25637,8.
Erro padrão (desvio padrão do estimador \bar X_1-\bar X_2):
\text{SE}=\sqrt{25637,8}\approx160,12.

Passo 5

Determinar o quantil z_{1-\alpha/2} para 95\%. Para 95\% temos \alpha=0,05 e z_{0,975}=1,96.

Passo 6

Calcular a margem de erro e os extremos do intervalo.
Margem de erro:
\text{ME}=z_{0,975}\cdot\text{SE}=1,96\cdot160,12\approx313,83.
Intervalo de confiança:
\left(\bar X_1-\bar X_2\right)\pm\text{ME}=41,7\pm313,83.
Limite inferior:
41,7-313,83=-272,13.
Limite superior:
41,7+313,83=355,53.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2 é aproximadamente [-272,13,\;355,53].

Resposta

[-272,13,\;355,53]

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