Suppose the cumulative distribution function of the random variable X is
F(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & x<0 \\\\ 0.2 x & 0 \leq x<5 \\\\ 1 & 5 \leq x \end{array}\right.
Determine the following:
P(X<-2)

Passo 1

O enunciado fornece a função de distribuição acumulada (CDF) F\) de uma variável aleatória \(X\): \[F(x)=\begin{cases} 0 & x<0,\\[4pt] 0{,}2\,x & 0 \le x<5,\\[4pt] 1 & 5 \le x. \end{cases}
A pergunta é: calcular (P(X<-2)].]

Passo 2

Lembrete importante sobre CDF: por definição,
F(x)=P(X\le x).
Dessa forma, para probabilidades com desigualdade estrita usamos o limite à esquerda:
P(X<a)=\lim_{t\to a^-}F(t)=F(a^-).
Além disso, para qualquer intervalo temos
P(a<X\le b)=F(b)-F(a).

Passo 3

Observando a CDF dada, para todo x<0 vale F(x)=0. Em particular, para x=-2 (que satisfaz -2<0) temos
F(-2)=0.
Como P(X<-2)=F(-2^-)=F(-2) (não há massa em -2 pois a distribuição tem suporte a partir de 0), concluímos que essa probabilidade é zero.

Passo 4

Intuição curta: a CDF mostra que toda massa de probabilidade está em [0,5] (ou seja, X não pode ser menor que 0), então qualquer evento do tipo X< algum número negativo tem probabilidade 0.

Resposta

0

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