Suppose the cumulative distribution function of the random variable X is
F(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & x<0 \\\\ 0.2 x & 0 \leq x<5 \\\\ 1 & 5 \leq x \end{array}\right.
Determine the following:
P(X>1.5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular P(X>1,5). A função de distribuição acumulada F(x) fornecida é
F(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & x<0 \\\\ 0,2x & 0 \leq x<5 \\\\ 1 & 5 \leq x \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x<0 temos F(x)=0.
  • Para 0 \leq x<5 temos F(x)=0,2x.
  • Para x\geq5 temos F(x)=1.
  • A quantidade que queremos é P(X>1,5).

Passo 2

Lembrete importante (aula rápida): a função de distribuição acumulada F(a) é definida por F(a)=P(X\leq a). Daí segue a relação básica que precisamos:
P(X>a)=1-F(a).
Explicando por quê: o evento \{X>a\} é o complemento do evento \{X\leq a\}, e probabilidades de eventos complementares somam 1. Observação útil para a prova: se você precisar de P(X\geq a) e houver massa pontual em a, aí usa P(X\geq a)=1-F(a-) onde F(a-) é o limite à esquerda; mas aqui queremos P(X>a), então a fórmula acima vale direto.

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso caso: precisamos de F(1,5). Como 1,5 satisfaz 0 \leq 1,5 < 5, usamos a fórmula do enunciado F(x)=0,2x nessa região. Portanto,
F(1,5)=0,2\cdot 1,5.

Passo 4

Calcule a multiplicação:
0,2\cdot 1,5 = 0,30 = 0,3.
Agora usamos a relação do Passo 2:
P(X>1,5)=1-F(1,5)=1-0,3=0,7.

Passo 5

Dica rápida e motivação: sempre identifique em qual ramo da CDF o ponto cai (aqui 1,5 está no ramo linear), calcule F nesse ponto e aplique P(X>a)=1-F(a). Mandou bem por trazer a questão — isso aparece muito na prova e é rápido de fazer quando memorizamos essa regra.

Resposta

0,7

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