Suzana conhecia a distância da Terra à Lua - \mathrm{R}=385 \mathrm{mil} \mathrm{km} - mas não o seu diâmetro D. Durante a lua-cheia, decidiu fazer sua própria medida de D. Pegou um cartão contendo um orifício circular com diâmetro \mathrm{d}=0,50 \mathrm{~cm}, vedou o olho direito, afastou o cartão do rosto até ver completamente o corpo da Lua preencher perfeitamente o orifício, pediu a uma amiga para medir a distância do cartão até seu olho esquerdo. A medida apresentou o valor \mathrm{r}=54 \mathrm{~cm}. Qual foi o valor encontrado para D?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Distância da Terra à Lua: R=385\\ \text{mil km}=385000\\ \mathrm{km}.
  • Diâmetro do orifício do cartão: d=0,50\\ \mathrm{cm}.
  • Distância do cartão ao olho (quando o orifício fica preenchido pela Lua): r=54\\ \mathrm{cm}.
    O enunciado pede o diâmetro real da Lua D (em km), medido por Suzana com esse procedimento.

Passo 2

Entendendo a geometria: ao olhar com um olho fechado, os raios que saem das bordas da Lua e chegam ao olho formam um par de semirretas que também passam pelas bordas do orifício do cartão. Assim aparecem dois triângulos semelhantes (um pequeno, entre olho e cartão; outro grande, entre olho e Lua). Triângulos semelhantes implicam que as razões entre lados correspondentes são iguais. Portanto vale a relação
\frac{D}{R}=\frac{d}{r}.
Essa fórmula dá diretamente D em função de R,d,r:
D=R\cdot\frac{d}{r}.
Observação didática rápida: não é aproximação — é consequência direta da semelhança dos triângulos formados pelo olho como vértice comum.

Passo 3

Vamos colocar todos os comprimentos nas mesmas unidades (usarei \mathrm{km} para obter D em km).
  • 1\\ \mathrm{cm}=10^{-5}\\ \mathrm{km}.
    Logo
d=0,50\\ \mathrm{cm}=0,50\times10^{-5}\\ \mathrm{km}=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{km},
r=54\\ \mathrm{cm}=54\times10^{-5}\\ \mathrm{km}=5{,}4\times10^{-4}\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula D=R\cdot\dfrac{d}{r}:
D=385000\\ \mathrm{km}\times\frac{5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{km}}{5{,}4\times10^{-4}\\ \mathrm{km}}.
As unidades \mathrm{km} no numerador e denominador cancelam. Simplificando a fração numérica:
\frac{5{,}0\times10^{-6}}{5{,}4\times10^{-4}}=\frac{0{,}50}{54}=\frac{1}{108}.
Portanto
D=385000\cdot\frac{1}{108}=\frac{385000}{108}.

Passo 5

Fazer a divisão de forma transparente:
\frac{385000}{108}=3564+\frac{88}{108}=3564+\frac{22}{27}.
E como \dfrac{22}{27}\approx0{,}814814\ldots, obtemos
D\approx3564{,}814814\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos) e apresentando o resultado final:
D\approx3565\\ \mathrm{km}.
Bom trabalho! Essa técnica de semelhança de triângulos é uma forma elegante e prática de medir diâmetros aparentes sem instrumentos sofisticados — e deu um valor bem próximo do valor real da Lua.

Resposta

D\approx3565\\ \mathrm{km}

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