1. São dadas duas localidades A e B interligadas por rodovia sensivelmente reta; a distância entre as duas é d=420 \mathrm{~km}. O transporte de passageiros de uma localidade à outra pode ser feito por automóvel (velocidade média v_{1}=70 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ) ou por avião (velocidade média v_{2} incógnita). Junto à rodovia há, entre A e B, uma localidade C à distância x (incógnita) de A. Um automóvel e um avião partem simultaneamente de A com destino a B. Mais tarde, ambos os móveis partem simultaneamente de B com destino a A. O avião atinge A com antecedência a=4,0 h em relação ao instante em que o automóvel passa por C. Determinar a velocidade média v_{2} do avião e da distância x entre as localidades A e C. (valor: 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte.
  • Dados fornecidos:
    • Distância entre A e B: \,d=420\\ \mathrm{km}.
    • Velocidade média do automóvel: \,v_1=70\\ \mathrm{km/h}.
    • Velocidade média do avião: \,v_2 (incógnita).
    • Localidade C está entre A e B, a uma distância x (incógnita) de A.
    • Ambos (automóvel e avião) partem simultaneamente de A para B.
    • Mais tarde, partem simultaneamente de B para A. (Isto implica que, no instante dessa partida em B, ambos estavam em B e partiram sem esperar.)
    • O avião atinge A com antecedência a=4{,}0\\ \mathrm{h} em relação ao instante em que o automóvel passa por C.
  • O que o problema pede:
    1. Determinar a velocidade média \,v_2 do avião.
    2. Determinar a distância \,x entre A e C.
Observação: todas as quantidades acima serão usadas nas equações de tempo abaixo. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Modelagem dos movimentos e escolha do método (explicação passo a passo e justificação das hipóteses).
  • Notação de tempos (tudo explicado de forma simples):
    • Os tempos de viagem entre A e B têm magnitude \dfrac{d}{v} para um móvel com velocidade v (tempo = distância / velocidade).
    • Os tempos em que um móvel chega a B depois de partir de A são d/v_1 (automóvel, primeira chegada) e d/v_2 (avião, primeira chegada).
    • Se um móvel continua fazendo idas e vindas, ele chega a B novamente em tempos que são números ímpares múltiplos de d/v: d/v,\\\ 3d/v,\\\ 5d/v,\dots (porque ida é d/v, ida+volta é 2d/v, então a próxima chegada a B é d/v+2d/v=3d/v, etc.).
  • Interpretação da frase "Mais tarde, ambos os móveis partem simultaneamente de B com destino a A":
    • Vou adotar a interpretação natural: eles partem de B no instante em que ambos estão em B e partem sem espera (isto é, partiram de B imediatamente ao chegarem simultaneamente a B). Isso implica que houve inteiros não-negativos m,n tais que (2m+1)\frac{d}{v_1}=(2n+1)\frac{d}{v_2},ou seja, \frac{v_2}{v_1}=\frac{2n+1}{2m+1}.
    • O caso mais simples e usual (menor número de idas e voltas do automóvel) é tomar m=0: isto significa que o automóvel chega a B pela primeira vez em t=d/v_1 e nesse mesmo instante o avião está em B (após um número inteiro n de idas e voltas) — então \frac{d}{v_1}=(2n+1)\frac{d}{v_2}\quad\Rightarrow\quad v_2=(2n+1)\,v_1.
    • Justificativa do método: essa hipótese é a mais simples compatível com "partem simultaneamente de B" sem espera. Ela reduz o problema a casos discretos (valores ímpares múltiplos de v_1); dentre esses escolhemos o menor n que leva a uma solução física (isto é, 0<x<d e x\neq0). Se o enunciado aceitasse esperas, haveria infinitas soluções; portanto a interpretação sem espera é necessária para ter solução única e é a interpretação clássica desse tipo de problema.

Passo 3

Equações de tempo para os instantes relevantes (explicando cada termo).
  • Como combinamos os eventos: ambos partem de A em t=0. No instante em que partem de B para A (chame esse instante de T), partiram imediatamente ao chegarem simultaneamente a B. Pela hipótese do passo anterior escolhemos T=\dfrac{d}{v_1} (automóvel chega a B pela primeira vez) e o avião chega a B nesse mesmo instante depois de um número inteiro de idas/voltas; com isso \,v_2=(2n+1)v_1 para algum n\in\{0,1,2,\dots\}.
  • Agora os instantes que entram na condição de antecedência:
    • Instante em que o avião atinge A (depois de partir de B em T): t_{\text{avião em }A}=T+\frac{d}{v_2}.ãExplicação: partiu de B em T e levou \dfrac{d}{v_2} para voar até A.
    • Instante em que o automóvel passa por C. Como partiu de B em T e vai em direção a A, a distância que falta para chegar a C (partindo de B) é d-x. Assim o automóvel passa por C no instante t_{\text{carro em }C}=T+\frac{d-x}{v_1}.
    • A antecedência dada pelo enunciado é t_{\text{carro em }C}-t_{\text{avião em }A}=a.ãSubstituindo as expressões acima (observe que T cancela): \left(T+\frac{d-x}{v_1}\right)-\left(T+\frac{d}{v_2}\right)=aque simplifica para \frac{d-x}{v_1}-\frac{d}{v_2}=a.Esta é a equação que relaciona x e v_2. Agora vamos usar a relação discreta v_2=(2n+1)v_1 obtida no passo 2 para fechar o sistema.

Passo 4

Substituir v_2=(2n+1)v_1 na equação de tempos e achar x em função de n; depois testar os menores n fisicamente aceitáveis.
  • Substituição na equação
    \frac{d-x}{v_1}-\frac{d}{v_2}=a
    com v_2=(2n+1)v_1
    \frac{d-x}{v_1}-\frac{d}{(2n+1)v_1}=a.
    Multiplicando por v_1,
    d-x-\frac{d}{2n+1}=a\,v_1.
    Isolando x,
    x=d-\frac{d}{2n+1}-a\,v_1.
  • Substituir os valores numéricos \,d=420, \,v_1=70, \,a=4:
    x=420-\frac{420}{2n+1}-4\cdot70.
    Calcule 4\cdot70=280, então
    x=140-\frac{420}{2n+1}.
  • Agora testar os valores inteiros n=0,1,2,\dots e escolher o menor n que dá 0<x<d e x\neq0 (C estritamente entre A e B):
    • n=0\\ \Rightarrow\\ x=140-\dfrac{420}{1}=140-420=-280 (impossível, negativo).
    • n=1\\ \Rightarrow\\ x=140-\dfrac{420}{3}=140-140=0. Isso daria C no próprio A (degenerado), portanto excluímos.
    • n=2\\ \Rightarrow\\ x=140-\dfrac{420}{5}=140-84=56\\ \mathrm{km}. Valor válido e estritamente entre 0 e 420.
    • n=3\\ \Rightarrow\\ x=140-\dfrac{420}{7}=140-60=80\\ \mathrm{km}. Também válido; porém o enunciado, sendo padrão, pede a solução mais simples (posição C estritamente entre A e B e não coincidente com A), normalmente tomada com o menor número de idas/voltas extra do avião. Assim escolhemos o menor n que produz 0<x<d, que é n=2.
  • Para n=2, obter v_2:
    v_2=(2n+1)v_1=(2\cdot2+1)\cdot70=5\cdot70=350\\ \mathrm{km/h}.
Resumo da escolha de n: n=2 é o menor índice inteiro que fornece uma posição C estritamente entre A e B e não degenerada; soluções com n\ge3 também seriam matematicamente possíveis, correspondendo ao avião ter feito ainda mais idas e voltas antes de partir de B junto com o automóvel, mas a solução mais simples e usual é n=2.

Passo 5

Cálculos finais numéricos apresentados de forma clara.
  • Para n=2: v_2=5\cdot70=350\\ \mathrm{km/h}.
x=140-\frac{420}{5}=140-84=56\\ \mathrm{km}.
Interpretação final: com v_2=350\\ \mathrm{km/h} o avião realizou um número adequado de idas/voltas de modo a estar em B simultaneamente com o automóvel na partida de B para A, e então ao retornar o avião chega em A exatamente 4{,}0\\ \mathrm{h} antes do instante em que o automóvel passa por C (localizado 56\\ \mathrm{km} de A).

Resposta

v_2=350\\ \mathrm{km/h}
x=56\\ \mathrm{km}

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