- São dadas duas localidades
e
interligadas por rodovia sensivelmente reta; a distância entre as duas é
. O transporte de passageiros de uma localidade à outra pode ser feito por automóvel (velocidade média
) ou por avião (velocidade média
incógnita). Junto à rodovia há, entre
e
, uma localidade
à distância
(incógnita) de
. Um automóvel e um avião partem simultaneamente de
com destino a
. Mais tarde, ambos os móveis partem simultaneamente de
com destino a
. O avião atinge
com antecedência
em relação ao instante em que o automóvel passa por
. Determinar a velocidade média
do avião e da distância
entre as localidades
e
. (valor: 1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte.
-
Dados fornecidos:
- Distância entre
e : . - Velocidade média do automóvel:
. - Velocidade média do avião:
(incógnita). - Localidade
está entre e , a uma distância (incógnita) de . - Ambos (automóvel e avião) partem simultaneamente de
para . - Mais tarde, partem simultaneamente de
para . (Isto implica que, no instante dessa partida em , ambos estavam em e partiram sem esperar.) - O avião atinge
com antecedência em relação ao instante em que o automóvel passa por .
- Distância entre
-
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade média
do avião. - Determinar a distância
entre e .
- Determinar a velocidade média
Observação: todas as quantidades acima serão usadas nas equações de tempo abaixo. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Modelagem dos movimentos e escolha do método (explicação passo a passo e justificação das hipóteses).
-
Notação de tempos (tudo explicado de forma simples):
- Os tempos de viagem entre
e têm magnitude para um móvel com velocidade (tempo = distância / velocidade). - Os tempos em que um móvel chega a
depois de partir de são (automóvel, primeira chegada) e (avião, primeira chegada). - Se um móvel continua fazendo idas e vindas, ele chega a
novamente em tempos que são números ímpares múltiplos de : (porque ida é , ida+volta é , então a próxima chegada a é , etc.).
- Os tempos de viagem entre
-
Interpretação da frase "Mais tarde, ambos os móveis partem simultaneamente de
com destino a ": - Vou adotar a interpretação natural: eles partem de
no instante em que ambos estão em e partem sem espera (isto é, partiram de imediatamente ao chegarem simultaneamente a ). Isso implica que houve inteiros não-negativos tais que ou seja, - O caso mais simples e usual (menor número de idas e voltas do automóvel) é tomar
: isto significa que o automóvel chega a pela primeira vez em e nesse mesmo instante o avião está em (após um número inteiro de idas e voltas) — então - Justificativa do método: essa hipótese é a mais simples compatível com "partem simultaneamente de
" sem espera. Ela reduz o problema a casos discretos (valores ímpares múltiplos de ); dentre esses escolhemos o menor que leva a uma solução física (isto é, e ). Se o enunciado aceitasse esperas, haveria infinitas soluções; portanto a interpretação sem espera é necessária para ter solução única e é a interpretação clássica desse tipo de problema.
- Vou adotar a interpretação natural: eles partem de
Passo 3
Equações de tempo para os instantes relevantes (explicando cada termo).
-
Como combinamos os eventos: ambos partem de
em . No instante em que partem de para (chame esse instante de ), partiram imediatamente ao chegarem simultaneamente a . Pela hipótese do passo anterior escolhemos (automóvel chega a pela primeira vez) e o avião chega a nesse mesmo instante depois de um número inteiro de idas/voltas; com isso para algum . -
Agora os instantes que entram na condição de antecedência:
- Instante em que o avião atinge
(depois de partir de em ): Explicação: partiu de em e levou para voar até . - Instante em que o automóvel passa por
. Como partiu de em e vai em direção a , a distância que falta para chegar a (partindo de ) é . Assim o automóvel passa por no instante - A antecedência dada pelo enunciado é
Substituindo as expressões acima (observe que cancela): que simplifica para Esta é a equação que relaciona e . Agora vamos usar a relação discreta obtida no passo 2 para fechar o sistema.
- Instante em que o avião atinge
Passo 4
Substituir
na equação de tempos e achar
em função de
; depois testar os menores
fisicamente aceitáveis.
-
Substituição na equaçãocom
dá Multiplicando por, Isolando, -
Substituir os valores numéricos
, , : Calcule, então -
Agora testar os valores inteiros
e escolher o menor que dá e (C estritamente entre e ): -
(impossível, negativo). -
. Isso daria no próprio (degenerado), portanto excluímos. -
. Valor válido e estritamente entre e . -
. Também válido; porém o enunciado, sendo padrão, pede a solução mais simples (posição estritamente entre e e não coincidente com ), normalmente tomada com o menor número de idas/voltas extra do avião. Assim escolhemos o menor que produz , que é .
-
-
Para
, obter :
Resumo da escolha de
:
é o menor índice inteiro que fornece uma posição
estritamente entre
e
e não degenerada; soluções com
também seriam matematicamente possíveis, correspondendo ao avião ter feito ainda mais idas e voltas antes de partir de
junto com o automóvel, mas a solução mais simples e usual é
.
Passo 5
Cálculos finais numéricos apresentados de forma clara.
- Para
:
Interpretação final: com
o avião realizou um número adequado de idas/voltas de modo a estar em
simultaneamente com o automóvel na partida de
para
, e então ao retornar o avião chega em
exatamente
antes do instante em que o automóvel passa por
(localizado
de
).