O Swell é um conjunto de ondas marinhas uniformes, com intervalos de tempo regulares entre duas cristas e que se propaga por longas distâncias no oceano até chegar a costa. Com base nos dados típicos de uma onda de gravidade do tipo Swell, fornecidos abaixo, faça uma análise de ordem de grandeza e identifique quais os termos dominantes nas componentes horizontal e vertical da equação de Navier-Stokes. Com base nos resultados, comente sobre a importância do efeito de Coriolis para a dinâmica desse tipo de onda. ( 1.0 pts )
\lambda\approx100\textrm{m}(comprimento de onda, horizontal)
H\approx10 m
U\approx1 m.s-1 (velocidade orbital)
T\approx10 s (período)
f\approx10-4 rad.s }\mp@subsup{}{}{-1
\begin{aligned} & \mathrm{g}_{\mathrm{e}}=10 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-2} \\\ & A_{H}=10^{1} \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-1} \\\ & A_{V}=10^{-1} \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede uma análise de ordem de grandeza das componentes horizontal e vertical da equação de Navier–Stokes para ondas Swell, com parâmetros típicos
\lambda\approx100\:\mathrm{m}, H\approx10\:\mathrm{m}, U\approx1\:\mathrm{m\,s^{-1}}, T\approx10\:\mathrm{s}, f\approx10^{-4}\:\mathrm{s^{-1}}, g=10\:\mathrm{m\,s^{-2}}, viscosidades turbulentas A_H=10^{1}\:\mathrm{m^2\,s^{-1}}, A_V=10^{-1}\:\mathrm{m^2\,s^{-1}}.
Vamos estimar cada termo e ver quais dominam em cada componente.

Passo 2

Escrevemos as estimativas de escala:
– Comprimento horizontal característico \lambda.
– Altura vertical característica H.
– Velocidade orbital característica U.
– Velocidade vertical característica W. Para ondas lineares W\sim U\,(H/\lambda)\approx1\cdot(10/100)=0,1\:\mathrm{m\,s^{-1}}.
– Tempo de variação T.

Passo 3

Componentes horizontais de Navier–Stokes (por unidade de massa):
\underbrace{\frac{U^2}{\lambda}}_{\text{advecção}} +\underbrace{f\,U}_{\text{Coriolis}} \sim \underbrace{\frac{g\,H}{\lambda}}_{\text{gradiente de pressão}} +\underbrace{\frac{A_H\,U}{\lambda^2}}_{\text{viscosidade}}.çãã
Substituindo valores:
\frac{U^2}{\lambda}\sim\frac{1^2}{100}=10^{-2}\:\mathrm{m\,s^{-2}},
f\,U\sim10^{-4}\cdot1=10^{-4}\:\mathrm{m\,s^{-2}},
\frac{g\,H}{\lambda}\sim\frac{10\cdot10}{100}=1\:\mathrm{m\,s^{-2}},
\frac{A_H\,U}{\lambda^2}\sim\frac{10\cdot1}{100^2}=10^{-3}\:\mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 4

Componentes verticais de Navier–Stokes:
\underbrace{\frac{W^2}{H}}_{\text{advecção vertical}} \sim \underbrace{\frac{g}{1}}_{\text{peso}} +\underbrace{\frac{A_V\,W}{H^2}}_{\text{viscosidade vertical}}.çã
Substituindo:
\frac{W^2}{H}\sim\frac{0,1^2}{10}=10^{-3}\:\mathrm{m\,s^{-2}},
\,g=10\:\mathrm{m\,s^{-2}},
\frac{A_V\,W}{H^2}\sim\frac{0,1\cdot0,1}{10^2}=10^{-4}\:\mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 5

Identificando termos dominantes:
– Na componente horizontal,
gradiente de pressão \sim1 domina advecção \sim10^{-2} \ggviscosidade \sim10^{-3} \ggCoriolis \sim10^{-4}.
– Na componente vertical,
o termo gravitacional g domina largamente ( 10) sobre advecção vertical ( 10^{-3}) e viscosidade vertical ( 10^{-4}).

Passo 6

Como o termo de Coriolis ( 10^{-4}\:\mathrm{m\,s^{-2}}) é muito menor que a advecção ( 10^{-2}) e, sobretudo, que o gradiente de pressão ( 1), seu efeito é desprezível na dinâmica de ondas Swell de escala \lambda\sim100\:\mathrm{m}. O número de Rossby Ro=U/(f\lambda)\approx100\gg1 confirma que a rotação da Terra não é relevante.

Resposta

A análise mostra que na direção horizontal domina o gradiente de pressão, e na vertical o termo gravitacional (hidrostático). O efeito de Coriolis é desprezível para ondas Swell de \lambda\sim100\:\mathrm{m}.

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