Um escoamento com campo de velocidade vec{u}=u \hat{i}+v \hat{j}+w \hat{k} é dito não divergente quando \nabla \cdot \vec{u}=0, onde: \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right).
Considere o campo \vec{u} sendo dado pelas velocidades geostróficas. Calcule a divergência desse campo. O que você entende como significado físico desse resultado?

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a divergência do campo de velocidades geostróficas e interprete fisicamente o resultado. O conteúdo aqui envolve a definição de divergência de um campo vetorial
\nabla\cdot\vec{u} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z},
e a expressão das velocidades geostróficas obtidas a partir do equilíbrio geostrófico.

Passo 2

No equilíbrio geostrófico, assume-se um plano f constante e densidade \rho constante, de modo que
f\,\hat{k}\times\vec{u} \;=\; -\frac{1}{\rho}\,\nabla p.
Dessa relação segue que
u \;=\; -\frac{1}{f\,\rho}\,\frac{\partial p}{\partial y}, \qquad v \;=\; \frac{1}{f\,\rho}\,\frac{\partial p}{\partial x}, \qquad w \;=\; 0.

Passo 3

Agora calculamos a divergência
\nabla\cdot\vec{u} =\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Substituindo u e v:
\frac{\partial u}{\partial x} =-\frac{1}{f\,\rho}\,\frac{\partial^2 p}{\partial x\,\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} =\frac{1}{f\,\rho}\,\frac{\partial^2 p}{\partial y\,\partial x}, \quad \frac{\partial w}{\partial z}=0.
Como as derivadas mistas comutam,
\frac{\partial^2 p}{\partial x\,\partial y} =\frac{\partial^2 p}{\partial y\,\partial x},
temos que esses dois termos se cancelam, logo
\nabla\cdot\vec{u}=0.

Passo 4

Fisicamente, \nabla\cdot\vec{u}=0 significa que o escoamento geostrófico é estritamente não divergente na horizontal. Não há convergência nem divergência de massa no plano horizontal, de modo que, isoladamente, esse fluxo não gera acumulação de fluido nem fluxos verticais.

Resposta

\nabla\cdot\vec{u}=0.
Fisicamente, isso mostra que o escoamento geostrófico é não divergente (puro giro), sem convergência horizontal nem verticais induzidas.

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