Considere uma região hipotética do oceano onde uma superfície isobárica e uma superficie isopicnal são dadas, respectivamente, por: p(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z-8 \mathrm{e} \rho(x, y, z)=x-y^{2}+z^{2}+2. A região oceânica em questão apresenta condições barotrópicas ou baroclínicas ? Justifique sua resposta. ( 1.0 pt )

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies no espaço (x,y,z): a isobárica
p(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z-8
e a isopicnal
\rho(x,y,z)=x - y^{2} + z^{2} + 2.
Pergunta-se se a região oceânica é barotrópica (densidade depende apenas da pressão) ou baroclínica (densidade não é função unívoca da pressão). Para responder, vamos usar o critério geométrico de paralelismo dos gradientes \nabla p e \nabla \rho.

Passo 2

Em fluido barotrópico, existe uma função \rho=\rho(p) e, nessa situação, as superfícies de p e de \rho coincidem localmente, o que implica
\nabla p \times \nabla \rho = \mathbf{0},
ou seja, \nabla p e \nabla \rho são paralelos em todo ponto. Se isso não ocorrer em geral, o fluido é baroclínico.

Passo 3

Calculemos os gradientes:
\nabla p = \Bigl(\pd{p}{x},\;\pd{p}{y},\;\pd{p}{z}\Bigr) = (2x,\;2y,\;-1),
\nabla \rho = \Bigl(\pd{\rho}{x},\;\pd{\rho}{y},\;\pd{\rho}{z}\Bigr) = (1,\;-2y,\;2z).

Passo 4

Verifiquemos se existe campo escalar \lambda(x,y,z) tal que
(1,\;-2y,\;2z) = \lambda\,(2x,\;2y,\;-1).
Igualando componentes:
  1. 1 = 2x\,\lambda \implies \lambda = \frac1{2x} (desde que x\neq0).
  2. -2y = 2y\,\lambda = 2y\cdot\frac1{2x} = \frac{y}{x}.
    Se y\neq0, isto dá -2 = \tfrac1{x} ou x=-\tfrac12.
  3. 2z = -1\cdot\lambda = -\tfrac1{2x}.
    Com x=-\tfrac12 resulta 2z = -\tfrac1{2(-1/2)}= -\tfrac1{-1} = 1, logo z=\tfrac12.
Portanto, somente em pontos especiais \bigl(x,y,z)=(-\tfrac12,y,\tfrac12) (com y\neq0) haveria paralelismo local. Em todo o resto do domínio não se atende a condição de paralelismo.

Passo 5

Como \nabla p e \nabla\rho não são paralelos em geral, a densidade não é função única da pressão. Logo, o fluido é baroclínico.

Resposta

A região oceânica é baroclínica, pois as superfícies de pressão e densidade não coincidem e, em geral, \nabla p e \nabla \rho não são paralelos.

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