. (Symon 6.5) Supondo que a Terra seja uma esfera de densidade uniforme, com raio igual a
e massa
, calcule a intensidade do campo gravitacional e o potencial gravitacional em todos os pontos no interior e no exterior da Terra (considere
).
resposta:
para
e
para
e
para
.
resposta:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a intensidade do campo gravitacional e o potencial gravitacional, em todos os pontos (tanto dentro quanto fora) de uma Terra idealizada como esfera de densidade uniforme. As informações dadas são:
- raio da esfera:
; - massa total:
; - densidade uniforme (constante);
- condição de contorno para o potencial:
.
Passo 2
Estratégia (intuição do método que vamos usar): por simetria esférica a força gravitacional em qualquer ponto depende só da distância radial
ao centro. Existe um resultado muito útil (teorema da casca esférica / lei de Gauss para gravitação) que diz:
- para um ponto fora da esfera (
) a esfera inteira age como se toda a massa estivesse concentrada no centro; - para um ponto dentro da esfera (
) só a massa contida na esfera de raio contribui para o campo; a massa das cascas exteriores não contribui (resultado do teorema da casca).
Vou usar esse resultado porque simplifica muito os cálculos e é exatamente a ferramenta indicada para problemas esféricos.
Passo 3
Calcular a densidade volumétrica
(constante) a partir de
e
. O volume da esfera é
. Logo
Expliquei isso porque, para achar a massa dentro de um raio
vamos multiplicar
pelo volume da esfera de raio
.
Passo 4
Massa contida numa esfera de raio
. O volume dessa esfera é
, então a massa interna é
Esse resultado é intuitivo: a fração da massa interna é a fração dos volumes,
.
Passo 5
Campo gravitacional para
(ponto fora da esfera). Pelo teorema da casca a esfera inteira se comporta como massa pontual
no centro. A lei de Newton para o módulo do campo gravitacional é
(direção radial para dentro). Em notação vetorial, tomando
como o versor radial apontando para fora, o campo é
Explicação da notação:
é o campo (vetor),
é a constante gravitacional,
é a distância ao centro, o sinal negativo indica que o campo aponta para o centro (direção
).
Passo 6
Campo gravitacional para
(ponto dentro da esfera). Apenas a massa interna
atua como se estivesse no centro, então o módulo do campo é
Em notação vetorial (apontando para dentro):
Observação didática: dentro da Terra idealizada o campo cresce linearmente com
(começa em zero no centro) — isso é típico de distribuições de densidade uniforme.
Passo 7
Relação entre campo e potencial e convenção de sinais. A relação clássica é
Para simetria esférica isso vira, em componentes radiais,
onde
é a componente radial do campo (negativa quando aponta para o centro). Vamos integrar essa relação para obter
, usando a condição
para fixar constantes.
Passo 8
Potencial para
. Usamos
. Então
Integrando de
até
:
Como
, obtemos
Comentário: o potencial é negativo (poço de potencial), como é habitual em gravitação quando escolhemos
.
Passo 9
Potencial para
. Usamos a expressão interior do campo
. Então
Integramos essa expressão de
até um
, usando a continuidade do potencial em
(o potencial deve ser contínuo):
Mas já sabemos de Passo 8 que
. Substituindo:
Colocando em forma mais elegante e rearranjando:
Verificações rápidas: em
isso dá
(coincide com exterior) e em
dá
(valor mínimo no centro).
Passo 10
Resumo físico rápido: o campo é contínuo em
(as expressões interior e exterior coincidem lá) e o potencial também é contínuo; dentro da esfera o campo cresce linearmente com
(como de uma mola — lembrando uma analogia), e fora decai como
. Força nula no centro.