. (Symon 6.5) Supondo que a Terra seja uma esfera de densidade uniforme, com raio igual a a e massa M, calcule a intensidade do campo gravitacional e o potencial gravitacional em todos os pontos no interior e no exterior da Terra (considere \varphi(r \rightarrow \infty)=0 ).
resposta: \vec{g}=-\left(M G / r^{2}\right) \hat{r} para r>a e -\left(M G r / a^{3}\right) \hat{r} para r \leq a . \varphi=M G / r, \quad r>a e \varphi=M G /\left(2 a^{3}\right)\left(3 a^{2}-r^{2}\right) para r \leq a.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a intensidade do campo gravitacional e o potencial gravitacional, em todos os pontos (tanto dentro quanto fora) de uma Terra idealizada como esfera de densidade uniforme. As informações dadas são:
  • raio da esfera: a;
  • massa total: M;
  • densidade uniforme (constante);
  • condição de contorno para o potencial: \varphi(r\rightarrow\infty)=0.

Passo 2

Estratégia (intuição do método que vamos usar): por simetria esférica a força gravitacional em qualquer ponto depende só da distância radial r ao centro. Existe um resultado muito útil (teorema da casca esférica / lei de Gauss para gravitação) que diz:
  • para um ponto fora da esfera ( r>a) a esfera inteira age como se toda a massa estivesse concentrada no centro;
  • para um ponto dentro da esfera ( r\le a) só a massa contida na esfera de raio r contribui para o campo; a massa das cascas exteriores não contribui (resultado do teorema da casca).
    Vou usar esse resultado porque simplifica muito os cálculos e é exatamente a ferramenta indicada para problemas esféricos.

Passo 3

Calcular a densidade volumétrica \rho (constante) a partir de M e a. O volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi a^{3}. Logo
\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi a^{3}}=\frac{3M}{4\pi a^{3}}.
Expliquei isso porque, para achar a massa dentro de um raio r vamos multiplicar \rho pelo volume da esfera de raio r.

Passo 4

Massa contida numa esfera de raio r\le a. O volume dessa esfera é \tfrac{4}{3}\pi r^{3}, então a massa interna é
M_{\text{int}}(r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{3M}{4\pi a^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=M\frac{r^{3}}{a^{3}}.
Esse resultado é intuitivo: a fração da massa interna é a fração dos volumes, (r/a)^{3}.

Passo 5

Campo gravitacional para r>a (ponto fora da esfera). Pelo teorema da casca a esfera inteira se comporta como massa pontual M no centro. A lei de Newton para o módulo do campo gravitacional é g=G\,M/r^{2} (direção radial para dentro). Em notação vetorial, tomando \hat r como o versor radial apontando para fora, o campo é
\vec g(r) = -\frac{G M}{r^{2}}\,\hat r,\qquad r>a.
Explicação da notação: \vec g é o campo (vetor), G é a constante gravitacional, r é a distância ao centro, o sinal negativo indica que o campo aponta para o centro (direção -\hat r).

Passo 6

Campo gravitacional para r\le a (ponto dentro da esfera). Apenas a massa interna M_{\text{int}}(r) atua como se estivesse no centro, então o módulo do campo é
g(r)=\frac{G\,M_{\text{int}}(r)}{r^{2}}=\frac{G\,M\,r^{3}/a^{3}}{r^{2}}=\frac{G M}{a^{3}}\,r.
Em notação vetorial (apontando para dentro):
\vec g(r) = -\frac{G M}{a^{3}}\,r\,\hat r,\qquad r\le a.
Observação didática: dentro da Terra idealizada o campo cresce linearmente com r (começa em zero no centro) — isso é típico de distribuições de densidade uniforme.

Passo 7

Relação entre campo e potencial e convenção de sinais. A relação clássica é
\vec g = -\nabla\varphi.
Para simetria esférica isso vira, em componentes radiais,
g_{r} = -\frac{d\varphi}{dr},
onde g_{r} é a componente radial do campo (negativa quando aponta para o centro). Vamos integrar essa relação para obter \varphi(r), usando a condição \varphi(\infty)=0 para fixar constantes.

Passo 8

Potencial para r>a. Usamos g_{r}=-GM/r^{2}. Então
\frac{d\varphi}{dr}=-g_{r}= \frac{G M}{r^{2}}.
Integrando de \infty até r:
\varphi(r)-\varphi(\infty)=\int_{\infty}^{r}\frac{G M}{r'^{2}}\,dr' = \left[-\frac{G M}{r'}\right]_{\infty}^{r} = -\frac{G M}{r}.
Como \varphi(\infty)=0, obtemos
\varphi(r) = -\frac{G M}{r},\qquad r>a.
Comentário: o potencial é negativo (poço de potencial), como é habitual em gravitação quando escolhemos \varphi(\infty)=0.

Passo 9

Potencial para r\le a. Usamos a expressão interior do campo g_{r}=-\dfrac{G M}{a^{3}}\,r. Então
\frac{d\varphi}{dr}=-g_{r}=\frac{G M}{a^{3}}\,r.
Integramos essa expressão de r=a até um r\le a, usando a continuidade do potencial em r=a (o potencial deve ser contínuo):
\varphi(r)-\varphi(a)=\int_{a}^{r}\frac{G M}{a^{3}}\,r'\,dr'=\frac{G M}{a^{3}}\cdot\frac{r^{2}-a^{2}}{2}.
Mas já sabemos de Passo 8 que \varphi(a)=-\dfrac{G M}{a}. Substituindo:
\varphi(r)=-\frac{G M}{a}+\frac{G M}{2a^{3}}\,(r^{2}-a^{2}).
Colocando em forma mais elegante e rearranjando:
\varphi(r)=\frac{G M}{2a^{3}}\,(r^{2}-3a^{2}) = -\frac{G M}{2a^{3}}\,(3a^{2}-r^{2}),\qquad r\le a.
Verificações rápidas: em r=a isso dá -GM/a (coincide com exterior) e em r=0 -3GM/(2a) (valor mínimo no centro).

Passo 10

Resumo físico rápido: o campo é contínuo em r=a (as expressões interior e exterior coincidem lá) e o potencial também é contínuo; dentro da esfera o campo cresce linearmente com r (como de uma mola — lembrando uma analogia), e fora decai como 1/r^{2}. Força nula no centro.

Resposta

\displaystyle \vec g(r) = -\frac{G M}{r^{2}}\,\hat r,\quad r>a\n
\displaystyle \vec g(r) = -\frac{G M}{a^{3}}\,r\,\hat r,\quad r\le a\n
\displaystyle \varphi(r) = -\frac{G M}{r},\quad r>a\n
\displaystyle \varphi(r) = -\frac{G M}{2a^{3}}\,(3a^{2}-r^{2}),\quad r\le a

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