. Define-se centro de gravidade de um corpo ou sistema de partículas, em relação a um determinado ponto P, como sendo aquele ponto onde colocada uma particula de massa total igual ao do corpo (ou sistema de partículas), a força de atração gravitacional devido a essa partícula sentida por uma outra de massa qualquer m colocada em P, será a mesma força que a devido ao corpo (ou sistema de partículas). O centro de gravidade nem sempre corresponde ao centro de massa do corpo.
(Symon 6.2) Considere duas massas iguais m, separadas por uma distância a. Determine o centro de gravidade das duas em relação ao ponto P localizado sobre a bissetriz perpendicular à linha que une as duas massas e a uma distância y, a partir do ponto médio entre elas. Mostre que quando y \rightarrow \infty, o centro de gravidade se aproxima do centro de massa do sistema de duas massas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Dados: duas massas iguais \,m, separadas por uma distância \,a.
  • O ponto P está sobre a bissetriz perpendicular à reta que une as duas massas, a uma distância \,y, a partir do ponto médio entre as massas.
  • Pede-se: determinar o centro de gravidade do sistema de duas massas em relação ao ponto P (ou seja, a posição ao longo da bissetriz onde se colocaria a massa total 2m para produzir a mesma força gravitacional em P que as duas massas produzem).
  • Pede-se também mostrar que quando \,y \rightarrow \infty o centro de gravidade se aproxima do centro de massa do sistema (que, por simetria, é o ponto médio entre as duas massas).

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas conveniente e explico por que a solução fica unidimensional:
  • Coloco a origem no ponto médio entre as duas massas; a reta que une as massas é o eixo x e a bissetriz perpendicular (onde está P) é o eixo y.
  • Assim as duas massas estão em \left(\pm \dfrac{a}{2},0\right) e o ponto P está em (0,y) com y>0.
  • Pelo problema, cada massa fonte vale m. O corpo de teste em P chamarei de massa m_0 (apenas para não confundir com as massas fontes).
  • Por simetria, o resultado da força gravitacional total em P tem componente x nula (as componentes horizontais das duas forças se cancelam) e aponta ao longo do eixo y (para baixo, no sentido negativo de y). Logo o centro de gravidade equivalente estará situado sobre o eixo y (mesma bissetriz), em alguma posição s medida a partir do ponto médio (origem): o centro equivalente tem coordenada (0,s). Nosso objetivo é achar s em função de a e y.

Passo 3

Distância do ponto P a cada uma das massas e força de uma massa sobre a massa teste:
  • A distância do ponto P(0,y) até cada massa em \left(\pm \dfrac{a}{2},0\right) é
r=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}}.
Expliquei: r é a hipotenusa do triângulo formado por deslocamentos a/2 em x e y em y.
  • Pela lei da gravitação universal, a magnitude da força que uma única massa m exerce sobre a massa teste m_0 em P é
F_1 = G\,\dfrac{m\,m_0}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional. Aqui eu explico: a força decai como o inverso do quadrado da distância entre as massas.

Passo 4

Componente vertical (no eixo y) da força de uma massa e força total das duas massas:
  • O vetor força de cada massa aponta ao longo da reta que une P à massa; a componente vertical (direção y) dessa força tem fator trigonométrico \cos\theta = \dfrac{y}{r} (porque o cateto adjacente ao ângulo com a vertical é y e a hipotenusa é r). Portanto a componente vertical (em módulo) de F_1 é
F_{1y}=F_1\cdot\dfrac{y}{r}=G\,\dfrac{m\,m_0}{r^{2}}\cdot\dfrac{y}{r}=G\,\dfrac{m\,m_0\,y}{r^{3}}.
  • Como as duas massas têm a mesma contribuição vertical (e as horizontais se anulam), a força vertical total (em módulo) sobre m_0 é
F_{\text{total}}=2F_{1y}=2G\,\dfrac{m\,m_0\,y}{r^{3}}.
Expliquei: multipliquei por 2 porque há duas fontes idênticas.

Passo 5

Força equivalente produzida pela massa concentrada M=2m colocada no centro de gravidade (0,s):
  • Se colocarmos a massa total M=2m no ponto (0,s) então a distância entre P(0,y) e essa massa equivalente é |y-s|. A força (em módulo) que essa massa produz em m_0 é
F_{\text{eq}} = G\,\dfrac{(2m)\,m_0}{(y-s)^{2}}.
  • Pelo enunciado do centro de gravidade, devemos ter a mesma força sobre m_0 que antes, ou seja F_{\text{eq}} = F_{\text{total}}. (As direções coincidem: ambas apontam ao longo do eixo y.)

Passo 6

Igualar as forças e simplificar para obter s:
  • Igualando as magnitudes:
G\,\dfrac{2m\,m_0}{(y-s)^{2}} \;=\; 2G\,\dfrac{m\,m_0\,y}{r^{3}}.
  • Podemos cancelar 2G m m_0 dos dois lados (não são zero), obtendo
\dfrac{1}{(y-s)^{2}} \;=\; \dfrac{y}{r^{3}}.
  • Tomando raiz positiva (a distância y-s é positiva se o centro equivalente estiver entre a origem e P; a fórmula final valerá independentemente do sinal, escolhemos a raiz que dá a posição geométrica correta), obtemos
y-s=\sqrt{\dfrac{r^{3}}{y}}.
  • Logo
s \;=\; y - \sqrt{\dfrac{r^{3}}{y}}.
  • Substituindo r=\sqrt{y^{2}+\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}} temos a expressão explícita
\boxed{\,s \;=\; y \;-\; \sqrt{\dfrac{\bigl(y^{2}+\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}\bigr)^{3/2}}{y}}\, }.
Expliquei: esta é a posição do centro de gravidade medida a partir do ponto médio entre as massas, ao longo da bissetriz perpendicular (positivo no sentido de P).

Passo 7

Interpretação física e verificação do sinal:
  • Note que s pode ser positivo, zero ou negativo dependendo de y e a. Por simetria, quando y é muito pequeno (ponto P muito próximo), o centro de gravidade pode deslocar-se no sentido dos corpos; quando y cresce muito, veremos abaixo que s\to 0 (o centro de gravidade tende ao ponto médio, que é o centro de massa). O que importa para o enunciado é obter a expressão e o limite quando y\to\infty.

Passo 8

Calcular o limite quando \,y\rightarrow\infty:
  • Para estudar o comportamento quando y é muito grande, escrevo r de forma conveniente:
r=\sqrt{y^{2}+\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}} = y\sqrt{1+\dfrac{a^{2}}{4y^{2}}}.
  • Para pequenas \varepsilon=\dfrac{a^{2}}{4y^{2}} (quando y grande), uso a expansão binomial para \sqrt{1+\varepsilon}:
\sqrt{1+\varepsilon}=1+\dfrac{\varepsilon}{2}+O(\varepsilon^{2}).
Assim
r = y\left(1+\dfrac{a^{2}}{8y^{2}}+O\!\bigl(y^{-4}\bigr)\right).
  • Então
r^{3}=y^{3}\left(1+\dfrac{a^{2}}{8y^{2}}+O\!\bigl(y^{-4}\bigr)\right)^{3} = y^{3}\left(1+\dfrac{3a^{2}}{8y^{2}}+O\!\bigl(y^{-4}\bigr)\right).
  • Dividindo por y e tomando raiz quadrada:
\sqrt{\dfrac{r^{3}}{y}} = \sqrt{y^{2}\left(1+\dfrac{3a^{2}}{8y^{2}}+O\!\bigl(y^{-4}\bigr)\right)} = y\left(1+\dfrac{3a^{2}}{16y^{2}}+O\!\bigl(y^{-4}\bigr)\right).
  • Assim a expressão para s fica
s = y - \sqrt{\dfrac{r^{3}}{y}} = y - y\left(1+\dfrac{3a^{2}}{16y^{2}}+O(y^{-4})\right) = -\dfrac{3a^{2}}{16y} + O\!\bigl(y^{-3}\bigr).
  • Como \,y\to\infty o termo -\dfrac{3a^{2}}{16y}\to 0. Portanto
\lim_{y\to\infty} s = 0.
Expliquei: o limite zero significa que, quando o ponto P está muito distante, o centro de gravidade do sistema de duas massas coincide arbitrariamente bem com o centro de massa (o ponto médio).

Passo 9

Comentário intuitivo e final de encorajamento:
  • Intuitivamente, quando estamos muito longe do par de massas, cada massa “parece” praticamente no mesmo ponto (o ponto médio), então a distribuição de massa é percebida como concentrada no centro de massa. Por isso o centro de gravidade (que depende de como a força se comporta em P) converge para o centro de massa quando y fica grande. Boa notícia: é exatamente isso que encontramos matematicamente.

Resposta

s = y - \sqrt{\dfrac{\bigl(y^{2}+\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}\bigr)^{3/2}}{y}}
\displaystyle \lim_{y\to\infty} s = 0

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