. Encontre a força atuando em um eletron da molécula de hidrogênio iônica para a qual o potencial é dado por
onde
é a distância entre o eletron e o ponto
, enquanto que
é a distância para o ponto
(os núcleos atômicos estão afastados de
).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a força atuando em um elétron cuja energia potencial é
Informações dadas e o que devemos achar:
- Os núcleos estão fixos nos pontos
e , ou seja, separados por . -
é a distância entre o elétron (posição ) e o núcleo em . -
é a distância entre o elétron (posição ) e o núcleo em . - Objetivo: determinar a força
que age sobre o elétron em função da posição .
Passo 2
Definições úteis (escrevo explicitamente para não deixar dúvidas):
- Distâncias:
- Vetores que ligam cada núcleo ao elétron (vetor do núcleo i até o elétron):
Observação: cada
tem norma
(ou seja
).
Também preciso da relação entre potencial e força: a força associada a um potencial escalar
(energia potencial) é dada por
onde
é o operador gradiente em coordenadas cartesianas.
Passo 3
Vou calcular
de forma geral (com
). Para mostrar o passo a passo (cadeia de derivadas) uso a componente
como exemplo e depois escrevo o resultado vetorial.
Seja
com
e
. Então
E
Juntando:
Analogamente para as outras componentes:
Em forma vetorial compacta isso é
Passo 4
Agora aplico isso ao potencial dado. Temos
Calculando o gradiente:
Usando o resultado do passo anterior:
Passo 5
A força é
. Assim
Esse é o resultado vetorial geral. Para ficar totalmente explícito nas componentes cartesianas escrevo:
Passo 6
Interpretação física rápida e checagem simples:
- O sinal negativo indica que a força aponta no sentido oposto ao vetor
, ou seja, aponta em direção aos núcleos (atração), como esperamos para um elétron atraído por cargas positivas. - Simetria: no ponto médio
temos e , . Substituindo vê-se que , consistente com equilíbrio simétrico.