. Encontre a força atuando em um eletron da molécula de hidrogênio iônica para a qual o potencial é dado por
V=-\frac{e^{2}}{r_{1}}-\frac{e^{2}}{r_{2}}
onde r_{1} é a distância entre o eletron e o ponto y=z=0, x=-a, enquanto que r_{2} é a distância para o ponto y=z=0, x=a (os núcleos atômicos estão afastados de 2 a ).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a força atuando em um elétron cuja energia potencial é
V = -\frac{e^{2}}{r_{1}} - \frac{e^{2}}{r_{2}}.
Informações dadas e o que devemos achar:
  • Os núcleos estão fixos nos pontos (x,y,z)=(-a,0,0) e (x,y,z)=(a,0,0), ou seja, separados por 2a.
  • r_{1} é a distância entre o elétron (posição (x,y,z)) e o núcleo em (-a,0,0).
  • r_{2} é a distância entre o elétron (posição (x,y,z)) e o núcleo em (a,0,0).
  • Objetivo: determinar a força \mathbf{F} que age sobre o elétron em função da posição (x,y,z).

Passo 2

Definições úteis (escrevo explicitamente para não deixar dúvidas):
  • Distâncias:
r_{1} = \sqrt{(x+a)^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad r_{2} = \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Vetores que ligam cada núcleo ao elétron (vetor do núcleo i até o elétron):
\mathbf{r}_{1} = (x+a)\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k},
\mathbf{r}_{2} = (x-a)\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k}.
Observação: cada \mathbf{r}_{i} tem norma r_{i} (ou seja \|\mathbf{r}_{i}\|=r_{i}).
Também preciso da relação entre potencial e força: a força associada a um potencial escalar V (energia potencial) é dada por
\mathbf{F} = -\nabla V,
onde \nabla é o operador gradiente em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Vou calcular \nabla\!\left(\dfrac{1}{r_{i}}\right) de forma geral (com i=1,2). Para mostrar o passo a passo (cadeia de derivadas) uso a componente x como exemplo e depois escrevo o resultado vetorial.
Seja r_i=\sqrt{(x-x_{i})^{2}+y^{2}+z^{2}} com x_{1}=-a e x_{2}=a. Então
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{r_{i}}\right) = -\frac{1}{r_{i}^{2}}\frac{\partial r_{i}}{\partial x}.
E
\frac{\partial r_{i}}{\partial x} = \frac{1}{2r_{i}}\cdot 2(x-x_{i}) = \frac{x-x_{i}}{r_{i}}.
Juntando:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{r_{i}}\right) = -\frac{x-x_{i}}{r_{i}^{3}}.
Analogamente para as outras componentes:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{r_{i}}\right) = -\frac{y}{r_{i}^{3}},\qquad \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{r_{i}}\right) = -\frac{z}{r_{i}^{3}}.
Em forma vetorial compacta isso é
\nabla\!\left(\frac{1}{r_{i}}\right) = -\frac{\mathbf{r}_{i}}{r_{i}^{3}}.

Passo 4

Agora aplico isso ao potencial dado. Temos
V = -e^{2}\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}\right).
Calculando o gradiente:
\nabla V = -e^{2}\left(\nabla\!\frac{1}{r_{1}}+\nabla\!\frac{1}{r_{2}}\right).
Usando o resultado do passo anterior:
\nabla V = -e^{2}\left(-\frac{\mathbf{r}_{1}}{r_{1}^{3}}-\frac{\mathbf{r}_{2}}{r_{2}^{3}}\right) = e^{2}\left(\frac{\mathbf{r}_{1}}{r_{1}^{3}}+\frac{\mathbf{r}_{2}}{r_{2}^{3}}\right).

Passo 5

A força é \mathbf{F} = -\nabla V. Assim
\mathbf{F} = -e^{2}\left(\frac{\mathbf{r}_{1}}{r_{1}^{3}}+\frac{\mathbf{r}_{2}}{r_{2}^{3}}\right).
Esse é o resultado vetorial geral. Para ficar totalmente explícito nas componentes cartesianas escrevo:
F_{x} = -e^{2}\!\left(\frac{x+a}{r_{1}^{3}}+\frac{x-a}{r_{2}^{3}}\right),
F_{y} = -e^{2}\,y\!\left(\frac{1}{r_{1}^{3}}+\frac{1}{r_{2}^{3}}\right),
F_{z} = -e^{2}\,z\!\left(\frac{1}{r_{1}^{3}}+\frac{1}{r_{2}^{3}}\right).

Passo 6

Interpretação física rápida e checagem simples:
  • O sinal negativo indica que a força aponta no sentido oposto ao vetor \mathbf{r}_{i}, ou seja, aponta em direção aos núcleos (atração), como esperamos para um elétron atraído por cargas positivas.
  • Simetria: no ponto médio (x,y,z)=(0,0,0) temos r_{1}=r_{2}=a e \mathbf{r}_{1}=(a,0,0), \mathbf{r}_{2}=(-a,0,0). Substituindo vê-se que \mathbf{F}=\mathbf{0}, consistente com equilíbrio simétrico.

Resposta

\mathbf{F} = -e^{2}\left(\frac{\mathbf{r}_{1}}{r_{1}^{3}}+\frac{\mathbf{r}_{2}}{r_{2}^{3}}\right)
F_{x} = -e^{2}\!\left(\frac{x+a}{r_{1}^{3}}+\frac{x-a}{r_{2}^{3}}\right),\qquad F_{y} = -e^{2}\,y\!\left(\frac{1}{r_{1}^{3}}+\frac{1}{r_{2}^{3}}\right),\qquad F_{z} = -e^{2}\,z\!\left(\frac{1}{r_{1}^{3}}+\frac{1}{r_{2}^{3}}\right)

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