Qual é a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 13 horas e 25 minutos?

Passo 1

O enunciado dá o horário \,13\!:\!25, e pede a medida do ângulo formado pelos ponteiros do relógio nesse instante. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Horário: \,13\!:\!25.
  • Pergunta: “qual é a medida do ângulo entre os ponteiros?” (presume-se o menor ângulo formado entre eles).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa devagarinho).
  • Um relógio é um círculo de \,360^\circ.
  • O ponteiro das horas completa uma volta em 12 horas, logo cada hora corresponde a \dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ. Se chamarmos de \,H a hora (no formato de 12 horas) e de \,M os minutos, a posição do ponteiro das horas em graus a partir das 12 é dada por:
\theta_h = 30H + 0,5M.
Aqui:
  • 30H é a contribuição fixa por conta das horas ( 30^\circ por hora);
  • 0,5M é a contribuição extra porque o ponteiro das horas avança também quando os minutos passam (em uma hora há 60 minutos, então 30^\circ/60=0,5^\circ por minuto).
  • O ponteiro dos minutos completa uma volta em 60 minutos, então cada minuto corresponde a \dfrac{360^\circ}{60}=6^\circ. Sua posição é
\theta_m = 6M.
  • O ângulo entre os ponteiros é o valor absoluto da diferença entre essas posições:
\Delta = |\theta_m - \theta_h|.
  • Como o círculo é \,360^\circ, o menor ângulo entre os ponteiros é
\alpha = \min\big(\Delta,\,360^\circ-\Delta\big).
(Explicação rápida: às vezes a diferença direta é maior que 180^\circ; aí o menor ângulo é o complemento até 360^\circ.)

Passo 3

Primeiro ajuste: transformar a hora \,13\!:\!25 para o formato de 12 horas para usar a fórmula. \,13 horas corresponde a \,1 hora no mostrador de 12 horas. Então tomamos H=1 e M=25.

Passo 4

Calcular a posição do ponteiro das horas usando a fórmula explicada:
\theta_h = 30H + 0,5M = 30\cdot 1 + 0,5\cdot 25 = 30 + 12,5 = 42,5^\circ.

Passo 5

Calcular a posição do ponteiro dos minutos:
\theta_m = 6M = 6\cdot 25 = 150^\circ.

Passo 6

Calcular a diferença absoluta entre as posições:
\Delta = |\theta_m - \theta_h| = |150 - 42,5| = 107,5^\circ.
Verificar se esse é o menor ângulo: 360^\circ - \Delta = 360 - 107,5 = 252,5^\circ, que é maior que 107,5^\circ. Portanto o menor ângulo entre os ponteiros é \,107,5^\circ.

Passo 7

Forma alternativa e atalho (útil na prova): juntar as fórmulas dá
\Delta = |30H - 5,5M|.
Aplicando com H=1, M=25:
\Delta = |30\cdot 1 - 5,5\cdot 25| = |30 - 137,5| = 107,5^\circ,
mesma resposta — só que em fórmula direta, sem calcular separadamente \theta_h e \theta_m.

Resposta

\dfrac{215}{2}^\circ = 107,5^\circ

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