Considere uma reta e uma semi-reta com origem nessa reta, mas não contida nela. Mostre que os pontos da semi-reta, exccto a origem, estão no mesmo lado da reta.
Passo 1
O enunciado dá:
Uma reta L.
Uma semi-reta r (ou raio) cuja origem é um ponto O que pertence a L e tal que r não está contida em L. Ou seja, existe pelo menos um ponto de r que não está em L.
O que precisa ser mostrado:
Que todos os pontos de r, exceto a origem O, estão no mesmo lado da reta L.
Observação importante para clareza (definição usada): dois pontos que não pertencem a L estão do “mesmo lado” de L quando pertencem ao mesmo semi-plano aberto determinado por L. Equivalentemente, diz-se que dois pontos estão em lados opostos de L se o segmento que os une intersecta L.
Passo 2
Escolher um referencial conveniente: podemos aplicar uma translação e rotação do plano (movimentos rígidos) sem alterar relações de incidência e o fato de estar num mesmo lado da reta. Assim, sem perder generalidade, colocamos:
a reta L como o eixo x, isto é L=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\};
a origem da semi-reta como O=(0,0).
Explicação rápida e intuitiva: só estamos mudando o sistema de coordenadas; isso não altera se pontos estão ou não no mesmo semi-plano em relação a L.
Passo 3
Como a semi-reta não está contida em L, existe um ponto A\in r com A\notin L. Escrevemos A=(a,b) com b\neq0 (pegamos coordenadas no referencial do passo anterior, e b\neq0 porque A não está sobre o eixo x).
A semi-reta r com origem em O passando por A tem a forma paramétrica
r=\{(t a,\; t b)\mid t\ge0\}.
Observação: para t=0 obtemos O=(0,0); para t>0 obtemos os pontos da semi-reta diferentes da origem.
Passo 4
Análise do sinal da coordenada y: para qualquer ponto distinto da origem na semi-reta (ou seja, para qualquer t>0) a coordenada y é t b. Como t>0, o sinal de t b é o mesmo que o de b. Logo:
Se b>0, então para todo t>0 tem-se t b>0, isto é, todos os pontos de r\setminus\{O\} têm coordenada y>0.
Se b<0, então para todo t>0 tem-se t b<0, isto é, todos os pontos de r\setminus\{O\} têm coordenada y<0.
Como os semi-planos determinados por L (o eixo x) são precisamente \{(x,y)\mid y>0\} e \{(x,y)\mid y<0\}, concluímos que todos os pontos de r\setminus\{O\} pertencem ao mesmo semi-plano (ou todos têm y>0 ou todos têm y<0). Portanto estão todos no mesmo lado da reta L.
Passo 5
(Interpretação alternativa e contra‑posição para entender por que não pode haver pontos em lados opostos.) Suponha, por contradição, que existissem dois pontos P,Q\in r\setminus\{O\} em lados opostos de L. Então o segmento \overline{PQ} deveria intersectar L. Mas P e Q são colineares com O (todos pertencem à mesma reta que passa por O e A) e, como P e Q correspondem a parâmetros t_P>0 e t_Q>0, o segmento \overline{PQ} não contém O. A reta que contém \overline{PQ} intersecta L apenas em O (pois colocamos L como eixo x e a outra reta passa por O não sendo coincidente com L), logo \overline{PQ} não pode intersectar L, contradição. Isso reforça a conclusão do passo anterior.
Resposta
Todos os pontos da semi-reta, exceto a origem, pertencem ao mesmo semi-plano determinado pela reta L; ou seja, estão todos do mesmo lado de L.