Determine o par de soluções fundamentais dessa equação:
Escolha uma opção:
e
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e
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e
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e
.
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem uma equação de segunda ordem com coeficientes que dependem de $ t $. Nosso objetivo aqui é encontrar duas soluções que formem a base das soluções desse tipo de equação. Para isso, vamos precisar aplicar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente aquelas que são do tipo Cauchy-Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar uma solução assumindo que $ y = t^r $, onde $ r $ é uma constante que a gente precisa encontrar. Essa é uma técnica comum para equações do tipo Cauchy-Euler.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ y $:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Fatorando $ t^{r} $:
Passo 6
Agora, observamos que $ t^{r} $ não é zero para $ t > 0 $, então vamos igualar a expressão dentro dos colchetes a zero:
Vamos distribuir os termos:
Nota: Aqui percebemos que a equação não está simplificando como esperamos para um Cauchy-Euler típico, indicando que talvez precisemos de outra abordagem ou que as soluções não sejam polinomiais simples.
Passo 7
Como a tentativa de $ y = t^r $ não está funcionando facilmente, vamos verificar as opções fornecidas no exercício para ver se alguma delas satisfaz a equação original.
Vamos testar a primeira opção:
Calculando as derivadas e substituindo na equação original, percebemos que elas não satisfazem a equação.
Fazendo isso para as outras opções, nenhuma delas resolve a equação dada.
Resposta
Nenhuma das demais alternativas