T02. Termômetro de gás a volume constante. Usando um termômetro de gás, um pesquisador verificou que a pressão do ponto triplo da água \left(0,01{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) era igual a 4,80 \times 10^{4} \mathrm{~Pa}, e a pressão do ponto de ebulição normal da água ( 100^{\circ} \mathrm{C} ) era igual a 6,50 \times 10^{4} \mathrm{~Pa}. (a) Supondo que a pressão varie linearmente com a temperatura, use esses dados para calcular a temperatura Celsius na qual a pressão do gás seria igual a zero (isto é, ache a temperatura Celsius do zero absoluto). (b) O gás nesse termômetro obedece à equação de estado de um gás ideal de modo exato? Caso essa equação fosse obedecida rigorosamente e a pressão a 100^{\circ} \mathrm{C} fosse igual a 6,50 \times 10^{4} \mathrm{~Pa}, qual seria a pressão medida a 0,01^{\circ} \mathrm{C} ? Resp: (a) -282^{\circ} \mathrm{C}, (b) 4,76 \times 10^{4} \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O enunciado dá duas medições de pressão feitas com um termômetro de gás a volume constante e pede duas coisas:
  • (a) Supondo que a pressão varie linearmente com a temperatura (em Celsius), calcular a temperatura Celsius na qual a pressão seria zero (isto é, encontrar o zero absoluto em °C).
  • (b) Dizer se o gás obedece exatamente à equação de estado do gás ideal e, supondo que obedeça, calcular qual seria a pressão medida a \,0{,}01^\circ\mathrm{C} se a pressão a \,100^\circ\mathrm{C} fosse \,6{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • Pressão no ponto triplo da água \,T_{t}=0{,}01^\circ\mathrm{C}: \,P_{t}=4{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão no ponto de ebulição normal \,T_{b}=100^\circ\mathrm{C}: \,P_{b}=6{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Conceito físico básico (aula rápida e calma):
  • Num termômetro de gás a volume constante com uma certa quantidade fixa de gás, a equação dos gases ideais diz
P=\frac{nR}{V}T,
onde:
  • P é a pressão do gás,
  • n é a quantidade de substância (mols),
  • R é a constante universal dos gases,
  • V é o volume fixo do bulbo do termômetro,
  • T é a temperatura absoluta (Kelvin).
  • Como n, R e V são constantes para esse termômetro, temos P\propto T (ou seja, P é proporcional à temperatura em Kelvin). Como a temperatura Kelvin se relaciona com a Celsius por
T(\mathrm{K})=T(\!^\circ\mathrm{C})+273{,}15,
uma proporcionalidade P\propto T(\mathrm{K}) aparece como uma relação linear também quando se plota P contra T(\!^\circ\mathrm{C}):
P=a\,T_{C}+b,
com a e b constantes. A interseção com o eixo T_C quando P=0 dá o zero absoluto em graus Celsius. É essa ideia simples (da linha reta) que vamos usar em (a).

Passo 3

Montar a equação da reta P=aT_{C}+b usando os dois pontos dados:
  • Ponto 1: \,T_{1}=0{,}01^\circ\mathrm{C},\; P_{1}=4{,}80\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • Ponto 2: \,T_{2}=100^\circ\mathrm{C},\; P_{2}=6{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
A inclinação a da reta é
a=\frac{P_{2}-P_{1}}{T_{2}-T_{1}}=\frac{6{,}50\times10^{4}-4{,}80\times10^{4}}{100-0{,}01}.
Calculemos o numerador e o denominador:
P_{2}-P_{1}=1{,}70\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}, \qquad T_{2}-T_{1}=99{,}99\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto
a=\frac{1{,}70\times10^{4}}{99{,}99}\approx170{,}00\\ \mathrm{Pa}/^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Encontrar a temperatura T_0 (em ^\circ\mathrm{C}) para a qual P=0. Da reta P=aT_{C}+b temos, usando um dos pontos, por exemplo o ponto 1:
P_{1}=aT_{1}+b \quad\Rightarrow\quad b=P_{1}-aT_{1}.
Para P=0:
0=aT_{0}+b \quad\Rightarrow\quad T_{0}=-\frac{b}{a}.
Substituindo b pela expressão anterior:
T_{0}=T_{1}-\frac{P_{1}}{a}.
Agora plugando números:
T_{0}=0{,}01-\frac{4{,}80\times10^{4}}{170{,}00}\\ \\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule o quociente:
\frac{4{,}80\times10^{4}}{170{,}00}\approx282{,}33.
Logo
T_{0}\approx0{,}01-282{,}33\approx-282{,}32\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma apropriada (os dados têm três algarismos significativos), obtemos
T_{0}\approx-282^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação e comentário sobre a diferença para o valor “esperado”:
  • Se o gás obedecesse exatamente à lei do gás ideal e não houvesse erros experimentais, a extrapolação deveria dar o valor conhecido do zero absoluto \,-273{,}15^\circ\mathrm{C}. Aqui o resultado experimental \,-282^\circ\mathrm{C} difere de \,-273{,}15^\circ\mathrm{C} em cerca de 9^\circ\mathrm{C}. Isso indica que há desvios práticos (não-idealidade do gás, efeitos do preenchimento do termômetro, imprecisões experimentais, etc.). Portanto, a resposta direta para a primeira parte da (b) é: não, o gás não obedece exatamente à equação de estado do gás ideal (na prática há pequenas correções).

Passo 6

Agora a segunda parte de (b): supondo que o gás obedeça rigorosamente à lei do gás ideal, calcular a pressão em \,0{,}01^\circ\mathrm{C} quando a pressão a \,100^\circ\mathrm{C} é \,6{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Para gás ideal a volume fixo vale a proporcionalidade em Kelvin:
\frac{P_{a}}{T_{a}}=\frac{P_{b}}{T_{b}},
onde T são temperaturas em Kelvin. Use:
T(100^\circ\mathrm{C})=373{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T(0{,}01^\circ\mathrm{C})=273{,}16\\ \mathrm{K}.
Assim
P(0{,}01^\circ\mathrm{C})=P(100^\circ\mathrm{C})\cdot\frac{273{,}16}{373{,}15}.
Substituindo P(100^\circ\mathrm{C})=6{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}:
P(0{,}01^\circ\mathrm{C})=6{,}50\times10^{4}\cdot\frac{273{,}16}{373{,}15}\\ \mathrm{Pa}.
Calcule a razão e o produto:
\frac{273{,}16}{373{,}15}\approx0{,}731998\quad\Rightarrow\quad P(0{,}01^\circ\mathrm{C})\approx6{,}50\times10^{4}\times0{,}731998\approx4{,}76\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Resumo final sucinto (e um empurrãozinho motivacional): conseguimos encontrar o zero experimental em Celsius extrapolando a reta e também calcular o valor esperado se o gás fosse ideal. Erros da ordem de alguns graus são comuns em termômetros reais — nada de pânico, você já está dominando o raciocínio passo a passo!

Resposta

(a) -282^\circ\mathrm{C}
(b) 4{,}76\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}

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