2 - Vocè está investigando uma partícula X recém-descoberta que tem uma massa M desconhecida e se move com uma velocidade u constante, mas desconhecida. Em seu experimento, vocè observa colisões entre a partícula X e diferentes partículas de teste com massas conhecidas m que estấo inicialmente em repouso. Você deixa as partículas colidirem de frente e se unirem, e mede a velocidade v do objeto de particula combinada. Por outras observações, vocé sabe que em todos os experimentos os objetos se movem ao longo da mesma linha reta antes e depois da colisão. Seus dados são mostrados na tabela abaixo. Observe que as massas săo expressas em unidades de referência mo e a velocidade em unidades de referência de velocidade vo. (a) Derive uma expressâo para v em termos de M , m e u . Indique qualquer suposição que você fez. (b) Determine M e u usando os dados da tabela. (Dica: reorganize a expressăo que você derivou em (a) para obter uma nova equação com dependência linear de m).

Passo 1

O que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
  • Pedidos:
    • (a) Derivar uma expressão para a velocidade final v em termos de M, m e u.
    • (b) Determinar numericamente M e u a partir da tabela experimental.
  • Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela/imagem):
    • Massas de teste m (em unidades de referência m_0) e velocidades finais medidas v (em unidades de referência v_0):
      • m=2{,}0, v=0{,}55
      • m=4{,}0, v=0{,}45
      • m=6{,}0, v=0{,}35
      • m=8{,}0, v=0{,}30
      • m=10{,}0, v=0{,}25
Observação: as massas e velocidades estão em unidades relativas ( m_0 e v_0), portanto os resultados para M e u estarão nessas mesmas unidades.

Passo 2

Física e suposições usadas para derivar a fórmula.
  • Suposições físicas (importante declarar):
    1. A colisão é unidimensional (tudo se move numa mesma linha).
    2. A partícula de teste com massa m está inicialmente em repouso.
    3. A colisão é perfeitamente inelástica: as duas partículas se unem e seguem juntas após a colisão.
    4. Não há forças externas impulsivas significativas durante a colisão (momento linear do sistema é conservado).
  • Aplicando conservação do momento linear (em uma dimensão): momento inicial = momento final.
    • Momento inicial: M u + m\cdot 0 = M u.
    • Momento final: (M + m)\,v.
    • Igualando, M u = (M + m)\,v.
    • Isolando v, v = \dfrac{M u}{M + m}.
    • Interpretação: v é a velocidade do conjunto massa total M+m depois que a partícula X (massa M, velocidade u) pega a massa m em repouso.

Passo 3

Transformação da expressão numa forma linear apropriada para ajustar os dados.
  • A dica sugere reorganizar para obter dependência linear em m. Tomando o inverso da expressão de v: \dfrac{1}{v} = \dfrac{M + m}{M u} = \dfrac{1}{u} + \dfrac{m}{M u}.
  • Definindo y \equiv \dfrac{1}{v},\qquad a \equiv \dfrac{1}{u},\qquad b \equiv \dfrac{1}{M u},obtemos a forma linear y = a + b\,m.
  • Plano: calcular y para cada m a partir dos dados, ajustar uma reta y = a + b m (por mínimos quadrados) para obter a e b, e então recuperar u = \dfrac{1}{a},\qquad M = \dfrac{1}{b\,u}.

Passo 4

Calcular os valores y=1/v para os dados fornecidos.
  • Para cada linha da tabela:
    • m=2{,}0, v=0{,}55 \Rightarrow y=\dfrac{1}{0{,}55}=1{,}818181818.
    • m=4{,}0, v=0{,}45 \Rightarrow y=\dfrac{1}{0{,}45}=2{,}222222222.
    • m=6{,}0, v=0{,}35 \Rightarrow y=\dfrac{1}{0{,}35}=2{,}857142857.
    • m=8{,}0, v=0{,}30 \Rightarrow y=\dfrac{1}{0{,}30}=3{,}333333333.
    • m=10{,}0, v=0{,}25 \Rightarrow y=\dfrac{1}{0{,}25}=4{,}000000000.
(Valores numéricos mostrados com várias casas para reduzir erro de arredondamento no ajuste.)

Passo 5

Ajuste linear por mínimos quadrados: fórmulas e somas necessárias.
  • Fórmulas para o ajuste y = a + b m com n pontos: b = \dfrac{n\sum (m y) - \left(\sum m\right)\left(\sum y\right)}{n\sum m^{2} - \left(\sum m\right)^{2}}, \qquad a = \dfrac{\sum y - b\sum m}{n}.
  • Calcular as somas (usando os m e os y calculados):
    • n = 5.
    • \sum m = 2{,}0 + 4{,}0 + 6{,}0 + 8{,}0 + 10{,}0 = 30{,}0.
    • \sum y = 1{,}818181818 + 2{,}222222222 + 2{,}857142857 + 3{,}333333333 + 4{,}000000000 = 14{,}23088023.
    • \sum m^{2} = 2^{2}+4^{2}+6^{2}+8^{2}+10^{2} = 220.
    • \sum (m y) = 2\cdot1{,}818181818 + 4\cdot2{,}222222222 + 6\cdot2{,}857142857 + 8\cdot3{,}333333333 + 10\cdot4{,}000000000 = 96{,}33477633.

Passo 6

Cálculo explícito de b, a e recuperação de u e M.
  • Calcular b: b = \dfrac{5\cdot 96{,}33477633 - 30{,}0\cdot 14{,}23088023}{5\cdot 220 - 30{,}0^{2}} = \dfrac{481{,}67388165 - 426{,}9264069}{1100 - 900} = \dfrac{54{,}74747475}{200} = 0{,}273737374.
  • Calcular a: a = \dfrac{14{,}23088023 - 0{,}273737374\cdot 30{,}0}{5} = \dfrac{14{,}23088023 - 8{,}21212122}{5} = \dfrac{6{,}01875901}{5} = 1{,}203751802.
  • Recuperar u e M: u = \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{1{,}203751802} = 0{,}830806\ldots
M = \dfrac{1}{b\,u} = \dfrac{1}{0{,}273737374\cdot 0{,}830806\ldots} = 4{,}397\ldots
  • Arredondando para três algarismos significativos (suficiente para os dados experimentais):
    • u \approx 0{,}831 (unidades v_0).
    • M \approx 4{,}40 (unidades m_0).

Passo 7

Checagem rápida (sanity check)
  • Usando \;v=\dfrac{M u}{M+m}\; com M=4{,}397 e u=0{,}8308 para m=6{,}0: v \approx \dfrac{4{,}397\cdot 0{,}8308}{4{,}397+6{,}0} \approx \dfrac{3{,}652}{10{,}397} \approx 0{,}351,que está muito próximo do valor medido 0{,}35, logo os parâmetros obtidos são consistentes com os dados.

Resposta

M \approx 4{,}40\\ m_{0}
u \approx 0{,}831\\ v_{0}

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