2 - Vocè está investigando uma partícula X recém-descoberta que tem uma massa M desconhecida e se move com uma velocidade u constante, mas desconhecida. Em seu experimento, vocè observa colisões entre a partícula X e diferentes partículas de teste com massas conhecidas m que estấo inicialmente em repouso. Você deixa as partículas colidirem de frente e se unirem, e mede a velocidade v do objeto de particula combinada. Por outras observações, vocé sabe que em todos os experimentos os objetos se movem ao longo da mesma linha reta antes e depois da colisão. Seus dados são mostrados na tabela abaixo. Observe que as massas săo expressas em unidades de referência mo e a velocidade em unidades de referência de velocidade vo. (a) Derive uma expressâo para v em termos de M , m e u . Indique qualquer suposição que você fez. (b) Determine M e u usando os dados da tabela. (Dica: reorganize a expressăo que você derivou em (a) para obter uma nova equação com dependência linear de m).
Passo 1
O que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
-
Pedidos:
- (a) Derivar uma expressão para a velocidade final
em termos de , e . - (b) Determinar numericamente
e a partir da tabela experimental.
- (a) Derivar uma expressão para a velocidade final
-
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela/imagem):
- Massas de teste
(em unidades de referência ) e velocidades finais medidas (em unidades de referência ): -
, -
, -
, -
, -
,
-
- Massas de teste
Observação: as massas e velocidades estão em unidades relativas (
e
), portanto os resultados para
e
estarão nessas mesmas unidades.
Passo 2
Física e suposições usadas para derivar a fórmula.
-
Suposições físicas (importante declarar):
- A colisão é unidimensional (tudo se move numa mesma linha).
- A partícula de teste com massa
está inicialmente em repouso. - A colisão é perfeitamente inelástica: as duas partículas se unem e seguem juntas após a colisão.
- Não há forças externas impulsivas significativas durante a colisão (momento linear do sistema é conservado).
-
Aplicando conservação do momento linear (em uma dimensão): momento inicial = momento final.
- Momento inicial:
. - Momento final:
. - Igualando,
- Isolando
, - Interpretação:
é a velocidade do conjunto massa total depois que a partícula (massa , velocidade ) pega a massa em repouso.
- Momento inicial:
Passo 3
Transformação da expressão numa forma linear apropriada para ajustar os dados.
- A dica sugere reorganizar para obter dependência linear em
. Tomando o inverso da expressão de : - Definindo
obtemos a forma linear - Plano: calcular
para cada a partir dos dados, ajustar uma reta (por mínimos quadrados) para obter e , e então recuperar
Passo 4
Calcular os valores
para os dados fornecidos.
- Para cada linha da tabela:
-
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
-
(Valores numéricos mostrados com várias casas para reduzir erro de arredondamento no ajuste.)
Passo 5
Ajuste linear por mínimos quadrados: fórmulas e somas necessárias.
- Fórmulas para o ajuste
com pontos: - Calcular as somas (usando os
e os calculados): -
. -
. -
. -
. -
.
-
Passo 6
Cálculo explícito de
,
e recuperação de
e
.
- Calcular
: - Calcular
: - Recuperar
e :
- Arredondando para três algarismos significativos (suficiente para os dados experimentais):
-
(unidades ). -
(unidades ).
-
Passo 7
Checagem rápida (sanity check)
- Usando
com e para : que está muito próximo do valor medido , logo os parâmetros obtidos são consistentes com os dados.