1 - Para desenvolver expressões matemáticas para energia potencial gravitacional e energia cinética, analisamos a seguinte situação: um cabo levanta um bloco da posição vertical y_{i} para a posição vertical y_{f}. Quando na posição y_{i} o bloco está se movendo para cima em velocidade v_{y j}, e quando na posição y_{f}. ele está se movendo para cima em velocidade maior
v_{X^{\prime}}.
igual à soma das mudanças de duas quantidades: m g y_{f}-m g y_{i} e \frac{1}{2} m N_{x}{ }^{2}-\frac{1}{2} m N_{y i}{ }^{2} ? Discuta como essas expressões podem ser usadas para escrever uma expressâo para a energia potencial gravitacional do sistema bloco-Terra e uma expressâo para a energia cinética do bloco.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (vou renomear os símbolos para ficar mais claro e consistente ao longo da resolução).
  • Dados (peguei estes símbolos do enunciado, mas simplifiquei a notação):
    • massa do bloco: m.
    • posição inicial vertical: y_i.
    • posição final vertical: y_f.
    • velocidade do bloco na posição inicial (subindo): v_{i} (era v_{y j} no enunciado).
    • velocidade do bloco na posição final (subindo, maior): v_{f} (era v_{X'} no enunciado).
  • Situação: um cabo puxa o bloco de y_i para y_f; durante esse movimento a velocidade aumenta de v_i para v_f.
  • O enunciado sugere que alguma quantidade (o trabalho feito pelo cabo) é igual à soma de duas mudanças: m g y_{f}-m g y_{i} e \tfrac{1}{2}m v_{f}^{2}-\tfrac{1}{2}m v_{i}^{2}.
  • O pedido implícito: discutir como usar essas expressões para definir a energia potencial gravitacional do sistema bloco–Terra e a energia cinética do bloco, e mostrar a relação entre trabalho, variação de energia potencial e variação de energia cinética.

Passo 2

Revisando o conceito de trabalho e o trabalho da força peso (aula rápida e concreta).
  • Definição de trabalho para uma força constante na direção do deslocamento: o trabalho é o produto da força pelo deslocamento na direção dessa força. Em notação:
    W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}.
    Aqui cada símbolo significa:
    • W: trabalho realizado pela força considerada;
    • \vec{F}: vetor força;
    • \Delta\vec{r}: vetor deslocamento.
  • Para a força peso, que é vertical para baixo com módulo mg (onde g é a aceleração da gravidade), ao elevar o bloco de y_i para y_f o deslocamento vertical é \Delta y = y_f-y_i (positivo se sobe). Como a força peso aponta para baixo, o trabalho da força peso é:
    W_{\text{peso}}=\int_{y_i}^{y_f} (-mg)\,dy = -mg(y_f-y_i).
    Observação didática: o sinal negativo aparece porque a força peso e o deslocamento têm direções opostas quando o bloco sobe.

Passo 3

Definindo energia potencial gravitacional a partir do trabalho da força peso (por que fazemos assim).
  • Para forças conservativas (como a força peso), é conveniente definir uma função energia potencial U(y) tal que a variação da energia potencial entre dois pontos seja o negativo do trabalho realizado pela força conservativa entre esses pontos: \Delta U \equiv U(y_f)-U(y_i) = -W_{\text{peso}}.
  • Substituindo o resultado de W_{\text{peso}} do passo anterior: \Delta U = -\bigl(-mg(y_f-y_i)\bigr)=mg(y_f-y_i).
  • Portanto, escolher a expressão de energia potencial (escolhendo uma referência conveniente) dá: U(y)=mgy + \text{constante}.Na prática de prova costuma-se fixar a constante igual a zero em algum nível de referência, então a forma usual é U(y)=mgy.Interpretação simples: ao subir \Delta y>0 a energia potencial aumenta em mg\Delta y.

Passo 4

Definindo energia cinética e lembrando o teorema trabalho–energia (como isso se conecta ao esquema do enunciado).
  • Energia cinética do bloco é definida como K=\tfrac{1}{2}m v^{2},onde:
    • K é a energia cinética;
    • m é a massa;
    • v é a velocidade instantânea do bloco.
  • O teorema trabalho–energia diz que o trabalho total realizado sobre uma partícula é igual à variação de sua energia cinética: W_{\text{tot}}=\Delta K = \tfrac{1}{2}m v_{f}^{2}-\tfrac{1}{2}m v_{i}^{2}.Aqui W_{\text{tot}} é a soma dos trabalhos de todas as forças que atuam sobre o bloco (no nosso caso, pelo menos o cabo e a gravidade).

Passo 5

Relacionando os trabalhos e isolando o trabalho feito pelo cabo — chega a soma sugerida no enunciado.
  • Escrevendo o total dos trabalhos: W_{\text{tot}}=W_{\text{cabo}}+W_{\text{peso}}.Pelo teorema trabalho–energia: W_{\text{cabo}}+W_{\text{peso}}=\Delta K.
  • Reorganizando para achar o trabalho realizado pelo cabo: W_{\text{cabo}}=\Delta K - W_{\text{peso}}.
  • Substituindo W_{\text{peso}}=-mg(y_f-y_i) (do Passo 2): W_{\text{cabo}}=\Delta K - \bigl(-mg(y_f-y_i)\bigr)=\Delta K + mg(y_f-y_i).
  • Usando as definições de \Delta K e \Delta U (do Passo 3), obtemos a forma compacta e muito útil: W_{\text{cabo}}=\bigl(\tfrac{1}{2}m v_{f}^{2}-\tfrac{1}{2}m v_{i}^{2}\bigr) + \bigl(mg y_{f}-mg y_{i}\bigr)ou, escrevendo com variações: W_{\text{cabo}}=\Delta K + \Delta U.Interpretação física: o trabalho que o cabo fornece foi gasto em duas coisas: (1) aumentar a energia potencial do bloco–Terra (subir contra a gravidade) e (2) aumentar a energia cinética do bloco (ele ficou mais rápido).

Passo 6

Conclusões práticas para prova: expressões finais e dicas de uso (como aplicar na hora).
  • Expressões que você deve lembrar e que justificamos acima: U(y)=mgy \quad(\text{energia potencial gravitacional, até uma constante}),é
K=\tfrac{1}{2}mv^{2} \quad(\text{energia cinética do bloco}).é
  • Relação energia/trabalho útil em problemas onde só atuam peso e uma força externa (como o cabo): W_{\text{externa}}=\Delta K + \Delta U.No caso concreto do enunciado W_{\text{externa}}=W_{\text{cabo}} e, substituindo: W_{\text{cabo}}=mg(y_f-y_i)+\tfrac{1}{2}m v_{f}^{2}-\tfrac{1}{2}m v_{i}^{2}.
  • Dicas de prova:
    • Se pedirem só variação de energia potencial, use \Delta U=mg(y_f-y_i) sem complicar.
    • Se pedirem trabalho do cabo, aplique diretamente W_{\text{cabo}}=\Delta K+\Delta U.
    • Atenção aos sinais: quando o bloco sobe \Delta y>0 e \Delta U>0; o trabalho da gravidade é negativo.
    • Energia potencial e energia cinética são funções de estado (dependem só de y e v respectivamente), então só precisam dos valores iniciais e finais, não do caminho percorrido.

Resposta

U(y)=mgy
K=\tfrac{1}{2}mv^{2}
W_{\text{cabo}}=mg(y_{f}-y_{i})+\tfrac{1}{2}m v_{f}^{2}-\tfrac{1}{2}m v_{i}^{2}

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