1 - Para desenvolver expressões matemáticas para energia potencial gravitacional e energia cinética, analisamos a seguinte situação: um cabo levanta um bloco da posição vertical
para a posição vertical
. Quando na posição
o bloco está se movendo para cima em velocidade
, e quando na posição
. ele está se movendo para cima em velocidade maior
.
igual à soma das mudanças de duas quantidades:
e
? Discuta como essas expressões podem ser usadas para escrever uma expressâo para a energia potencial gravitacional do sistema bloco-Terra e uma expressâo para a energia cinética do bloco.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (vou renomear os símbolos para ficar mais claro e consistente ao longo da resolução).
- Dados (peguei estes símbolos do enunciado, mas simplifiquei a notação):
- massa do bloco:
. - posição inicial vertical:
. - posição final vertical:
. - velocidade do bloco na posição inicial (subindo):
(era no enunciado). - velocidade do bloco na posição final (subindo, maior):
(era no enunciado).
- massa do bloco:
- Situação: um cabo puxa o bloco de
para ; durante esse movimento a velocidade aumenta de para . - O enunciado sugere que alguma quantidade (o trabalho feito pelo cabo) é igual à soma de duas mudanças:
e . - O pedido implícito: discutir como usar essas expressões para definir a energia potencial gravitacional do sistema bloco–Terra e a energia cinética do bloco, e mostrar a relação entre trabalho, variação de energia potencial e variação de energia cinética.
Passo 2
Revisando o conceito de trabalho e o trabalho da força peso (aula rápida e concreta).
-
Definição de trabalho para uma força constante na direção do deslocamento: o trabalho é o produto da força pelo deslocamento na direção dessa força. Em notação:Aqui cada símbolo significa:
-
: trabalho realizado pela força considerada; -
: vetor força; -
: vetor deslocamento.
-
-
Para a força peso, que é vertical para baixo com módulo
(onde é a aceleração da gravidade), ao elevar o bloco de para o deslocamento vertical é (positivo se sobe). Como a força peso aponta para baixo, o trabalho da força peso é: Observação didática: o sinal negativo aparece porque a força peso e o deslocamento têm direções opostas quando o bloco sobe.
Passo 3
Definindo energia potencial gravitacional a partir do trabalho da força peso (por que fazemos assim).
- Para forças conservativas (como a força peso), é conveniente definir uma função energia potencial
tal que a variação da energia potencial entre dois pontos seja o negativo do trabalho realizado pela força conservativa entre esses pontos: - Substituindo o resultado de
do passo anterior: - Portanto, escolher a expressão de energia potencial (escolhendo uma referência conveniente) dá:
Na prática de prova costuma-se fixar a constante igual a zero em algum nível de referência, então a forma usual é Interpretação simples: ao subir a energia potencial aumenta em .
Passo 4
Definindo energia cinética e lembrando o teorema trabalho–energia (como isso se conecta ao esquema do enunciado).
- Energia cinética do bloco é definida como
onde: -
é a energia cinética; -
é a massa; -
é a velocidade instantânea do bloco.
-
- O teorema trabalho–energia diz que o trabalho total realizado sobre uma partícula é igual à variação de sua energia cinética:
Aqui é a soma dos trabalhos de todas as forças que atuam sobre o bloco (no nosso caso, pelo menos o cabo e a gravidade).
Passo 5
Relacionando os trabalhos e isolando o trabalho feito pelo cabo — chega a soma sugerida no enunciado.
- Escrevendo o total dos trabalhos:
Pelo teorema trabalho–energia: - Reorganizando para achar o trabalho realizado pelo cabo:
- Substituindo
(do Passo 2): - Usando as definições de
e (do Passo 3), obtemos a forma compacta e muito útil: ou, escrevendo com variações: Interpretação física: o trabalho que o cabo fornece foi gasto em duas coisas: (1) aumentar a energia potencial do bloco–Terra (subir contra a gravidade) e (2) aumentar a energia cinética do bloco (ele ficou mais rápido).
Passo 6
Conclusões práticas para prova: expressões finais e dicas de uso (como aplicar na hora).
- Expressões que você deve lembrar e que justificamos acima:
- Relação energia/trabalho útil em problemas onde só atuam peso e uma força externa (como o cabo):
No caso concreto do enunciado e, substituindo: - Dicas de prova:
- Se pedirem só variação de energia potencial, use
sem complicar. - Se pedirem trabalho do cabo, aplique diretamente
. - Atenção aos sinais: quando o bloco sobe
e ; o trabalho da gravidade é negativo. - Energia potencial e energia cinética são funções de estado (dependem só de
e respectivamente), então só precisam dos valores iniciais e finais, não do caminho percorrido.
- Se pedirem só variação de energia potencial, use