A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do lucro mensal de 500 empresas. Calcule o lucro médio mensal:
Lucro Mensal (Mil Reais) № de empresas
50|—60 50
60 |— 70 100
70|-80 200
80 |-90 100
90 |-100 50
\Sigma 500

Passo 1

O enunciado pede: calcular o lucro médio mensal das empresas a partir da tabela de frequências.
Listei as informações da tabela (peguei estes dados da tabela enviada):
  • Classe 50\!-\!60: f_1=50 empresas.
  • Classe 60\!-\!70: f_2=100 empresas.
  • Classe 70\!-\!80: f_3=200 empresas.
  • Classe 80\!-\!90: f_4=100 empresas.
  • Classe 90\!-\!100: f_5=50 empresas.
  • Soma das frequências: \sum f_i = 500.

Passo 2

Vou explicar a ideia e a fórmula que vamos usar. Quando os dados estão agrupados em classes (como aqui: intervalos de lucro), não conhecemos os valores exatos dentro de cada classe. A aproximação padrão é usar o ponto médio de cada classe como representante dessa classe. A média amostral aproximada para dados agrupados é dada por:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{\sum_{i} f_i},
onde:
  • f_i é a frequência da i-ésima classe (número de empresas nessa classe);
  • x_i é o ponto médio (marca de classe) da i-ésima classe;
  • \sum_i f_i é o total de observações (aqui 500).
    Explicando melhor: multiplicamos cada ponto médio x_i pelo número de observações f_i naquela classe (isso dá a “soma de valores” aproximada para a classe), somamos essas somas e dividimos pelo total de observações.

Passo 3

Calcular os pontos médios (marcas de classe) de cada intervalo. O ponto médio de um intervalo é a média dos limites inferior e superior:
  • Para 50\!-\!60: x_1=\dfrac{50+60}{2}=55.
  • Para 60\!-\!70: x_2=\dfrac{60+70}{2}=65.
  • Para 70\!-\!80: x_3=\dfrac{70+80}{2}=75.
  • Para 80\!-\!90: x_4=\dfrac{80+90}{2}=85.
  • Para 90\!-\!100: x_5=\dfrac{90+100}{2}=95.

Passo 4

Multiplicar cada ponto médio pela frequência correspondente (peguei as frequências da tabela) e calcular cada produto:
\begin{aligned} f_1 x_1 &= 50 \times 55 = 2750,\\[4pt] f_2 x_2 &= 100 \times 65 = 6500,\\[4pt] f_3 x_3 &= 200 \times 75 = 15000,\\[4pt] f_4 x_4 &= 100 \times 85 = 8500,\\[4pt] f_5 x_5 &= 50 \times 95 = 4750. \end{aligned}]

Passo 5

Somar todos os produtos f_i x_i para obter a soma total aproximada dos lucros:
\sum_{i} f_i x_i = 2750 + 6500 + 15000 + 8500 + 4750 = 37500.

Passo 6

Aplicar a fórmula da média usando \sum_i f_i x_i e \sum_i f_i:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{\sum_{i} f_i}=\frac{37500}{500}=75.

Passo 7

Interpretação final e unidade: a média calculada é \bar{x}=75. Como os valores originais estão em “mil reais” (cada classe é em mil reais), isso significa que o lucro médio mensal aproximado é de 75 mil reais. Força aí — essa é a resposta que vai cair direto na prova se pedirem média de dados agrupados!

Resposta

\bar{x}=75 mil reais.

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